《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

子题1
某商场准备在“五一”期间举行促销活动。根据市场行情，该商场决定从$3$种服装商品、$2$种家电商品、$4$种日用商品中，选出$3$种商品进行促销活动。
(1)试求选出的$3$种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高$180$元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有$3$次抽奖的机会，每中奖一次，就可以获得一次奖金。假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是$\frac{1}{2}$，且每次获奖的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？

答案： 解析
(1)设选出的$3$种商品中至少有一种是日用商品为事件$A$，则$P(A)=1 - \frac{C_{5}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{37}{42}$。
即选出的$3$种商品中至少有一种是日用商品的概率为$\frac{37}{42}$。
(2)设顾客抽奖的中奖次数为$X$，则$X = 0$，$1$，$2$，$3$，
于是
$P(X = 0)=(1 - \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{2})=\frac{1}{8}$，
$P(X = 1)=C_{3}^{1}×(1 - \frac{1}{2})^{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 2)=C_{3}^{2}×(1 - \frac{1}{2})×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 3)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
$\therefore$顾客中奖的均值$E(X)=0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}=\frac{3}{2}$。
设该商场将每次中奖的奖金数额定为$x$元，则$\frac{3}{2}x\leq180$，解得$x\leq120$，
故该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为$120$元，才能使自己不亏本。

子题2
投资$A$，$B$两种股票，每股收益的分布列分别如下所示。

(1)投资哪种股票的期望收益较大？
(2)投资哪种股票的风险较高？

答案： 学审题
股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的期望。投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来衡量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低。
解析
(1)股票$A$和股票$B$投资收益的期望分别为
$E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1$，
$E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1$。
因为$E(X)＞E(Y)$，所以投资股票$A$的期望收益较大。
(2)股票$A$和股票$B$投资收益的方差分别为
$D(X)=(-1)^{2}×0.1+0^{2}×0.3+2^{2}×0.6 - 1.1^{2}=1.29$，
$D(Y)=0^{2}×0.3+1^{2}×0.4+2^{2}×0.3 - 1^{2}=0.6$。
因为$E(X)$和$E(Y)$相差不大，且$D(X)＞D(Y)$，
所以投资股票$A$比投资股票$B$的风险高。(在实际应用中，是方差大了好还是方差小了好，要看这组数据反映的实际问题，如在机器生产的零件质量与标准件的误差问题上，应该是方差越小越好；在挑选人员参加比赛的问题上，通常既要考虑人员平时的水平，也要考虑人员发挥的潜能与后劲)