《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例10 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率

为

p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为$\frac{p}{2}$.若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为.

答案： 解析▶设“该学生第i次及格”为事件$A_{i}$，$i=1,2$，显然$A_{1},A_{2}$为样本空间的一个完备事件组，且已知$P(A_{1})=p$，$P(A_{2}|A_{1})=p$，$P(\overline{A_{1}})=1-p$，$P(A_{2}|\overline{A_{1}})=\frac{p}{2}$.
由全概率公式得，$P(A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})+P(\overline{A_{1}})P(A_{2}|\overline{A_{1}})=\frac{p}{2}(1+p)$.
由贝叶斯公式得，$P(A_{1}|A_{2})=\frac{P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})}{P(A_{2})}=\frac{2p}{1+p}$.
答案▶$\frac{2p}{1+p}$

例11 新情境 物理综合 如图4.1-4，1,2,3,4,5表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为p，且各继电器触点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.

答案：
解析▶设事件$B=\{L至R为通路\}$，$A_{i}=\{第i个继电器触点闭合\}$，$i=1,2,·s,5$.
则$\Omega=A_{3}+\overline{A_{3}}$，$B=BA_{3}+B\overline{A_{3}}$.
如图4.1-5（1），$P(B|\overline{A_{3}})=P(A_{1}A_{4}\cup A_{2}A_{5})=2p^{2}-p^{4}$，
如图4.1-5（2），$P(B|A_{3})=P(A_{1}\cup A_{2})· P(A_{4}\cup A_{5})=(2p-p^{2})^{2}$.
由全概率公式得$P(B)=P(B|\overline{A_{3}})P(\overline{A_{3}})+P(B|A_{3})P(A_{3})=2p^{2}+2p^{3}-5p^{4}+2p^{5}$.