《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例1-3 [教材改编 P89 T5(2)](2025·广东省广州市期中) 已知离散型随机变量$X$的分布列为

设$Y = 2X + 1$，则$Y$的数学期望$E(Y)$的值是

A.$-\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$

答案： 解析▶ 由已知得$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + a = 1$，解得$a = \frac{1}{3}$，则$E(X) = (-1) × \frac{1}{2} + 0 × \frac{1}{6} + 1 × \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$
则$E(Y) = 2E(X) + 1 = 2 × (-\frac{1}{6}) + 1 = \frac{2}{3}$.
答案▶ C

例2-4 [教材改编 P89 T5(1)]已知随机变量$X$的分布列为

则$D(X) =$

答案： 解析▶ 方法1(利用方差的定义)
由分布列得$E(X) = 1 × \frac{1}{4} + 2 × \frac{1}{3} + 3 × \frac{1}{6} + 4 × \frac{1}{4} = \frac{29}{12}$，
所以$D(X) = (1 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{4} + (2 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{3} + (3 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{6} + (4 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{4} = \frac{179}{144}$
方法2(利用$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$由分布列得$E(X) = 1 × \frac{1}{4} + 2 × \frac{1}{3} + 3 × \frac{1}{6} + 4 × \frac{1}{4} = \frac{29}{12}$
$E(X^2) = 1^2 × \frac{1}{4} + 2^2 × \frac{1}{3} + 3^2 × \frac{1}{6} + 4^2 × \frac{1}{4} = \frac{85}{12}$，
所以$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 =$
$\frac{85}{12} - (\frac{29}{12})^2 = \frac{179}{144}$
(在实际做题时，我们一般采用方法1计算)
答案▶$\frac{179}{144}$