《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

·例26 已知不定方程$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12$，求：
(1)不定方程正整数解的组数；
(2)不定方程自然数解的组数；
(3)不定方程满足$x_1 \geqslant 3$，$x_2 \geqslant -2$，$x_3, x_4 \in \mathrm{N}$的解的组数$(x_1, x_2 \in \mathrm{Z})$.

答案： 思路点拨▶将问题等价转化为相同小球入盒问题，利用隔板法解决.
解析▶
(1)问题相当于求将$12$个完全相同的小球放入$4$个不同的盒子中，且每个盒子中至少放入$1$个小球的方法种数，使用隔板法计数得$\mathrm{C}_{11}^{3} = 165$，即不定方程有$165$组正整数解.
(2)令$X_1 = x_1 + 1$，$X_2 = x_2 + 1$，$X_3 = x_3 + 1$，$X_4 = x_4 + 1$，则$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 16$，且$X_i \in \mathrm{N}_{+} (i = 1, 2, 3, 4)$，问题相当于求将$16$个完全相同的小球放入$4$个不同的盒子中，且每个盒子中至少放入$1$个小球的方法种数，使用隔板法计数得$\mathrm{C}_{15}^{3} = 455$，即不定方程有$455$组自然数解.
(3)令$Y_1 = x_1 - 2$，$Y_2 = x_2 + 3$，$Y_3 = x_3 + 1$，$Y_4 = x_4 + 1$，则$Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4 = 15$，且$Y_i \in \mathrm{N}_{+} (i = 1, 2, 3, 4)$，问题相当于求将$15$个完全相同的小球放入$4$个不同的盒子中，且每个盒子中至少放入$1$个小球的方法种数，使用隔板法计数得$\mathrm{C}_{14}^{3} = 364$，即不定方程有$364$组满足条件的解.

例27 从$1, 2, 3, ·s, 20$这$20$个数中任取两个不同的数，使其和大于$20$，则有多少种不同的取法？

答案： 解析▶设所取两数分别为$a, b (a \neq b)$，则$a + b ＞ 20$，且$a, b \in \{1, 2, ·s, 20\}$，
于是$(21 - a) + (21 - b) ＜ 22$.
由于$21 - a, 21 - b \in \mathrm{N}_{+}$，则存在$t \in \mathrm{N}_{+}$，使得$(21 - a) + (21 - b) + t = 22$.
又$21 - a$与$21 - b$不同且无序，则利用隔板法（相当于将$22$个球放入$3$个盒子里，且盒子不为空）即得$21 - a$与$21 - b$的不同取值数，即$a, b$的不同取值数为$\frac{\mathrm{C}_{21}^{2} - 10}{2} = 100$，($21 - a$与$21 - b$有$10$种相同的情况，所以减$10$，且两者是无序的，所以除以$2$)即从$1, 2, ·s, 20$中任取两个不同的数，其和大于$20$的不同取法数为$100$.

例28 将$24$个大学生名额分到三个单位，每个单位至少一个名额，且名额数互不相同，则不同的分配方案有多少种？

答案： 解析▶$24$个大学生名额可视为$24$个完全相同的元素，问题即等价于将$24$个完全相同的元素放入三个“盒子”（即分到三个单位）中，每“盒”至少$1$个，利用隔板法，共有$\mathrm{C}_{23}^{2} = 253$(种)不同的情况，
由条件知出现名额数相同的情况包含：
①三个地名额数都相同，有$1$种情况；
②三个单位中恰有两个地名额数相同，有$\mathrm{C}_{3}^{2} × 10 = 30$(种)情况.
故不同的名额分配方案有$253 - 1 - 30 = 222$(种).