《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例13 为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据分成7组，即$[20,30),[30,40),·s,[80,90]$，并整理得到样本的频率分布直方图，如图4.2.3-3所示。
（1）估计阅读量小于60本的人数。
（2）已知阅读量在$[20,30),[30,40),[40,50)$内的学生人数比为2:3:5。为了进一步了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在$[20,40)$内的学生中随机选取3人进行调查，用X表示所选学生阅读量在$[20,30)$内的人数，求X的分布列。
（3）视频率为概率，从该高校的全体学生中任选3人，用Y表示所选学生阅读量在$[60,70)$内的人数，求Y的分布列。

答案：
解析 （1）$100-100×10×(0.04+0.02×2)=20$（人）。
（2）由已知条件及（1）可知，阅读量在$[20,50)$内的人数为$20-100×0.01×10=10$，故阅读量在$[20,30)$内的人数为2，在$[30,40)$内的人数为3，在$[40,50)$内的人数为5。
易知X服从参数为$N=5,M=2,n=3$的超几何分布，所以X的所有可能取值为0,1,2，则
$P(X=0)=\frac{ C_{3}^{3} C_{2}^{0}}{ C_{5}^{3}}=\frac{1}{10}$，$P(X=1)=\frac{ C_{3}^{2} C_{2}^{1}}{ C_{5}^{3}}=\frac{3}{5}$，$P(X=2)=\frac{ C_{3}^{1} C_{2}^{2}}{ C_{5}^{3}}=\frac{3}{10}$。
所以X的分布列为

（3）由频率分布直方图知阅读量在$[60,70)$内的频率为$0.02×10=0.2$，即从该高校的全体学生中任选1人，其阅读量在$[60,70)$内的概率为$\frac{1}{5}$。则由题意知$Y\sim B(3,\frac{1}{5})$。
所以$P(Y=k)= C_{3}^{k}×(\frac{1}{5})^{k}×(\frac{4}{5})^{3-k}(k=0,1,2,3)$，
即$P(Y=0)= C_{3}^{0}×(\frac{1}{5})^{0}×(\frac{4}{5})^{3}=\frac{64}{125}$，
$P(Y=1)= C_{3}^{1}×(\frac{1}{5})^{1}×(\frac{4}{5})^{2}=\frac{48}{125}$，
$P(Y=2)= C_{3}^{2}×(\frac{1}{5})^{2}×(\frac{4}{5})^{1}=\frac{12}{125}$，
$P(Y=3)= C_{3}^{3}×(\frac{1}{5})^{3}×(\frac{4}{5})^{0}=\frac{1}{125}$。
所以Y的分布列为

例14 （2025·全国二卷节选）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为$p(\frac{1}{2}＜p＜1)$，乙胜的概率为q，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立，对正整数$k\geq2$，记$p_{k}$为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，$q_{k}$为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。
（1）求$p_{3},p_{4}$（用p表示）；
（2）若$\frac{p_{4}-p_{3}}{q_{4}-q_{3}}=4$，求p。

答案： 解析 （1）打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜得3分，故所求为$p_{3}= C_{3}^{3}(1-p)^{0}p^{3}=p^{3}$，
打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲全胜得4分或甲胜3个球得3分，乙胜1个球得1分，故所求为$p_{4}= C_{4}^{4}(1-p)^{0}p^{4}+ C_{4}^{3}(1-p)^{1}p^{3}=p^{4}+4p^{3}(1-p)=p^{3}(4-3p)$。
（2）由（1）可知$p_{4}-p_{3}=p^{3}(4-3p)-p^{3}=3p^{3}(1-p)$，同理$q_{4}-q_{3}=3q^{3}(1-q)=3p(1-p)^{3}$。
（考虑每个球甲胜的概率p和每个球乙胜的概率q是对等的，所以可直接类比得出$q_{4}-q_{3}$）
由$\frac{p_{4}-p_{3}}{q_{4}-q_{3}}=4$，可得$\frac{3p^{3}(1-p)}{3p(1-p)^{3}}=\frac{p^{2}}{(1-p)^{2}}=4$，即$3p^{2}-8p+4=0$，解得$p=\frac{2}{3}$或$p=2$（舍去）。所以$p=\frac{2}{3}$。