《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例21 (1)(2024·北京)在$(x - \sqrt{x})^{4}$的展开式中，$x^{3}$的系数为 (A)
A. 6
B. -6
C. 12
D. -12
(2)(2025·天津)在$(x - 1)^{6}$的展开式中，$x^{3}$项的系数为-20.
(3)(2024·天津)在$(\frac{3}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3})^{6}$的展开式中，常数项为20.
(4)(2024·上海)在$(x + 1)^{n}$的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中$x^{2}$的系数为10.

答案： 解析▶
(1)方法1(公式法)　$(x - \sqrt{x})^{4}$的展开式的通项$T_{r + 1} = C_{4}^{r}x^{4 - r}( - \sqrt{x})^{r} = ( - 1)^{r}C_{4}^{r}x^{4 - \frac{r}{2}}(r = 0,1,2,3,4)$.由$4 - \frac{r}{2} = 3$，得$r = 2$，所以$(x - \sqrt{x})^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为$( - 1)^{2}C_{4}^{2} = 6$.
方法2(组合数法)　$(x - \sqrt{x})^{4}$的展开式中含$x^{3}$的项是由$(x - \sqrt{x})(x - \sqrt{x})(x - \sqrt{x})(x - \sqrt{x})$中任意取2个括号内的$x$与剩余的2个括号内的$- \sqrt{x}$相乘得到的，所以$(x - \sqrt{x})^{4}$的展开式中含$x^{3}$的项为$C_{4}^{2}x^{2} · C_{2}^{2}( - \sqrt{x})^{2} = 6x^{3}$，所以$(x - \sqrt{x})^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为6.
(2)$(x - 1)^{6}$展开式的通项公式为$T_{k + 1} = C_{6}^{k}x^{6 - k} · ( - 1)^{k} = ( - 1)^{k}C_{6}^{k}x^{6 - k}$，令$6 - k = 3$，得$k = 3$，所以$x^{3}$项的系数为$( - 1)^{3}C_{6}^{3} = - 20$.
(3)$T_{k + 1} = C_{6}^{k}(\frac{3}{x^{3}})^{6 - k}(\frac{x^{3}}{3})^{k} = C_{6}^{k} · 3^{6 - 2k} · x^{6k - 18}$.令$6k - 18 = 0$，则$k = 3$，所以常数项为$T_{4} = C_{6}^{3} · 3^{0} · x^{0} = 20$.
(4)令$x = 1$，得$2^{n} = 32$，所以$n = 5$，则$(x + 1)^{5}$的通项$T_{r + 1} = C_{5}^{r} · x^{5 - r} · 1^{r}$，令$5 - r = 2$，得$r = 3$，所以展开式中$x^{2}$的系数为$C_{5}^{3} = 10$.
答案▶
(1)A　
(2)-20　
(3)20　
(4)10

例22 (2024·全国甲卷)$(\frac{1}{3} + x)^{10}$的展开式中，各项系数中的最大值为5.

答案： 解析▶ $(\frac{1}{3} + x)^{10}$的展开式的通项$T_{r + 1} = C_{10}^{r}(\frac{1}{3})^{10 - r}x^{r}$，设第$r + 1$项的系数最大，则
$\begin{cases} C_{10}^{r}(\frac{1}{3})^{10 - r} \geqslant C_{10}^{r + 1}(\frac{1}{3})^{9 - r}, \\ C_{10}^{r}(\frac{1}{3})^{10 - r} \geqslant C_{10}^{r - 1}(\frac{1}{3})^{11 - r}, \end{cases}$
即$\begin{cases} \frac{3(10 - r)}{r + 1} \geqslant 1, \\ \frac{1}{r} \geqslant \frac{1}{3(11 - r)}, \end{cases}$
解得$\frac{29}{4} \leqslant r \leqslant \frac{33}{4}$，即$r = 8$，
故展开式中各项系数中的最大值为$C_{10}^{8}(\frac{1}{3})^{2} = C_{10}^{2}(\frac{1}{3})^{2} = 5$.
答案▶ 5

例23 (1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)$(1 - \frac{y}{x}) · (x + y)^{8}$的展开式中$x^{2}y^{6}$的系数为-28(用数字作答).

答案：
(1)-28

(2)(全国Ⅰ卷)$(x + \frac{y^{2}}{x})(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数为 (C)
A.5
B.10
C.15
D.20

答案： 　
(2)C

例24 (1)(2022·北京)若$(2x - 1)^{4} = a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$，则$a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ (B)
A.40
B.41
C.-40
D.-41

答案：
(1)B