《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例6 6个高矮不等的同学站成两行三列，如果每一列前面的同学比其身后的同学矮，则不同的站法共有种.

答案： 解析 ▶每一列前面的同学比其身后的同学矮，
第一步，挑2个同学站在第一列，顺序确定，有$C_6^2$种站法；
第二步，剩下的4个同学中挑2个同学站在第二列，顺序确定，有$C_4^2$种站法；
第三步，剩下的2个同学站在第三列，顺序确定，有$C_2^2$种站法.
故不同的站法共有$C_6^2C_4^2C_2^2 = 90$(种).
答案 ▶90

例7 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同站法有种(用数字作答).

答案： 解析 ▶先不考虑“每级台阶最多站2人”的情况. 因为甲、乙、丙3人站这7级台阶，每人都有7种不同的站法，所以共有$7^3$种不同的站法，(注意此处是人选择台阶，而不是台阶选择人)
而3人同站在一级台阶上的站法有7种，是不符合题意的，所以满足条件的不同站法有$7^3 - 7 = 336$(种).
答案 ▶336

例8 仅使用2，3两个数字，可以组成不同的五位数共有个.

答案： 解析 ▶[方法1] 五位数的每个数位上的数不是2就是3，因此将组成五位数这件事分五个步骤，每一步都有两个选择，根据分步乘法计数原理得，不同的五位数共有$2^5 = 32$(个).
[方法2] 以所含2的个数分六类：
第一类，不含2，即五位数由5个3组成，只有1个五位数；
第二类，含1个2，其余数字都是3，可组成$C_5^1$个五位数；
第三类，含2个2，其余数字都是3，可组成$C_5^2$个五位数；
第四类，含3个2，其余数字都是3，可组成$C_5^3$个五位数；
第五类，含4个2，1个3，可组成$C_5^4$个五位数；
第六类，全是2，只有1个五位数.
根据分类加法计数原理得，共可组成不同的五位数的个数为$1 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + 1 = 32$.
答案 ▶32

例9 8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？

答案： 解析 ▶8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排. 甲乙在前排，这两个特殊对象有$A_4^2$种排法，再排后4个位置上的特殊对象丙有$A_4^1$种排法，其余的5人在5个位置上任意排列有$A_5^5$种排法，
则共有$A_4^2A_4^1A_5^5 = 5760$(种)不同的排法.

例10 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位. 现安排两人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人左右不相邻，那么不同排法的种数是.

答案： 解析 ▶[方法1] 因为前排中间3个座位不能坐，所以实际可坐的位置是前排8个，后排12个.
考虑以下三种情况：
①两人一个前排，一个后排，有$C_8^1C_{12}^1A_2^2$种排法.
②两人均在后排，共$A_{12}^2$种排法，还需排除两人相邻的情况，即$A_{11}^1A_2^2$种，故有$(A_{12}^2 - A_{11}^1A_2^2)$种排法.
③两人均在前排，又分两类：
第一类，两人在中间座位的两侧，有$C_4^1C_4^1A_2^2$种排法.
第二类，两人在中间座位的同一侧，有$2(A_4^2 - A_3^1A_2^2)$种排法.
综上，不同排法的种数为$C_8^1C_{12}^1A_2^2 + A_{12}^2 - A_{11}^1A_2^2 + C_4^1C_4^1A_2^2 + 2(A_4^2 - A_3^1A_2^2) = 346$.
[方法2] 一共有20个可坐的座位，两人坐的方法数为$A_{20}^2$，还需排除两人左右相邻的情况. 把可坐的20个座位排成连续一行(前后排两端相接)，任意相邻两个座位看成一个整体，则两人相邻的坐法有$A_{19}^1A_2^2$种，但这其中包括前后排两端相邻，与前排3个空位左右两侧的相邻，而这两种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上$2A_2^2$.
故不同排法的种数为$A_{20}^2 - A_{19}^1A_2^2 + 2A_2^2 = 346$.
答案 ▶346