《2026年高考领航卷物理》

14. (13分)如图所示，质量分别为3m和m的弹性小球A、B，其中B用长5m的不可伸缩的轻质细绳拴接在高h=3m的固定点O处，在O右侧相距d=1m的等高处还有一固定点O₁，初始小球B位于O点正下方的光滑水平地面上，现让小球A以速度v₀与B球发生弹性正碰，绳绕过O、O₁后球B第一次运动至最低点(未与地面接触)时，细绳上张力是B球重力的7倍，整个过程两小球均在同一竖直面内运动，g取10m/s²，求：
(1) 小球在轨迹最高点的速度大小；
(2) 小球B离开地面瞬间，细绳所受拉力的大小；
(3) 小球A的速度v₀的大小。

答案： 14.碰撞、圆周运动
解：
(1)绳长为$5m$，绳绕过$O$、$O_{1}$后，小球$B$做圆周运动的半径$r = 3m$
设之后小球$B$第一次运动到最低点时，速度大小为$v_{B2}$，在最低点时有$F_{max}=mg+\frac{mv_{B2}^{2}}{r}$，其中$F_{max}=7mg$
解得$v_{B2}=6\sqrt{5}m/s$
假设小球$B$在轨迹最高点做圆周运动，在最高点时速度大小为$v_{B}$，则绳绕过$O_{1}$时，速度不变，有$\frac{1}{2}mv_{B2}^{2}-mg(2r + d)=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$
解得$v_{B}=2\sqrt{10}m/s$，验证知此时绳上张力恰为零，假设成立
(2)由
(1)知小球$B$离开地面瞬间的速度$v_{B2}=6\sqrt{5}m/s$
此时绳子拉力$F_{T}$满足$F_{T}-mg\sin\theta=\frac{mv_{B2}^{2}}{L}$
其中$\sin\theta = 0.6$，解得$F_{T}=4.2mg$
(3)碰后小球$B$先做直线运动，直到绳子被拉紧[提示：沿绳方向速度突变为零]，小球将以$v_{B2}=v_{B1}\sin\theta$开始在竖直面内做圆周运动
小球$A$与$B$发生弹性碰撞，有$3mv_{0}=3mv_{A1}+mv_{B1}$，$\frac{1}{2}×3mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}×3mv_{A1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{B1}^{2}$
则$v_{A1}=\frac{v_{0}}{2}$，$v_{B1}=\frac{3v_{0}}{2}$
解得$v_{0}=\frac{20\sqrt{5}}{3}m/s$