《2026年高考领航卷物理》

15. (18分)如图所示,在$xOy$直角坐标系第一、二象限内存在匀强磁场,磁感应强度大小为$B = \frac{mv_0}{2qL}$,磁场方向垂直$xOy$平面向外。第四象限内存在沿$y$轴正方向的匀强电场。$P(0,L)$点处有一粒子源,可以向$xOy$平面内任意方向均匀发射带正电的同种粒子,粒子质量为$m$,电荷量为$q(q ＞ 0)$,发射速度大小均为$v_0$。沿$y$轴正方向发射的粒子经磁场偏转后进入电场,然后直接打到坐标原点$O$处。粒子的重力不计,忽略粒子之间的相互作用。可能用到的三角函数值:$\sin 11.5^{\circ} = 0.2$,$\sin 14.5^{\circ} = 0.25$,$\sin 17.5^{\circ} = 0.3$。求:
(1)粒子从发射到打到$x$轴上经历的最短时间$t$;
(2)匀强电场的电场强度$E$的大小;
(3)沿$x$轴正方向发射的粒子,从匀强磁场进入匀强电场时,经过$x$轴上的点的横坐标$x$。

答案：
15.带电粒子在磁场、电场中的运动+分析综合能力、逻辑推理能力
过程拆解

解：
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力$qv_0B=\frac{mv_0^2}{r}$(2分)
解得轨迹半径$r = 2L$(1分)
匀速圆周运动的周期$T=\frac{2\pi r}{v_0}=\frac{4\pi L}{v_0}$(1分)
粒子从P点到O点时运动时间最短[当粒子在磁场中的轨迹为劣弧时，弦长越短，运动时间越短，粒子在第一、二象限的运动轨迹对应的最短的弦为PO]，作出粒子的运动轨迹如图1所示

设对应的圆心角为$\alpha$，根据几何关系有$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{L}{2}}{r}=0.25$(1分)
解得$\alpha = 29°$
最短时间$t=\frac{29°}{360°}T=\frac{29\pi L}{90v_0}$(1分)
(2)设沿y轴正方向发射的粒子从x轴上的Q点进入电场，进入电场时速度方向与x轴的夹角为$\theta$，作出粒子的运动轨迹，如图2所示，$\cos\theta=\frac{L}{r}=\frac{L}{2L}=\frac{1}{2}$(1分)
则$\theta = 60°$
Q、O的距离为$x_Q=r+r\sin\theta=(2+\sqrt{3})L$(1分)
粒子进入电场后做类斜抛运动，根据牛顿第二定律有$qE=ma$(1分)
从Q点运动到O的时间为$t=\frac{2v_0\sin\theta}{a}$(1分)
从Q点运动到O点沿x轴方向的位移为$x_Q=v_0\cos\theta· t$(1分)
联立解得$E=\frac{(2\sqrt{3}-3)mv_0^2}{2qL}$(1分)
(3)设沿x轴正方向发射的粒子第一次经过x轴上的$M_1$点，速度方向与x轴的夹角为$\beta$，作出粒子的运动轨迹如图3所示，轨迹圆圆心为$O_3$

根据几何关系可得$\angle OO_3M_1=\beta$，在$\triangle OO_3M_1$中有$\cos\beta=\frac{r - L}{r}=\frac{1}{2}$(1分)
则$\beta = 60°$
由
(2)中分析可知$x_Q=M_1N=(2+\sqrt{3})L$(1分)
根据对称性可知粒子从电场进入磁场时速度方向与x轴的夹角也为$60°$，设粒子从$M_2$点再次进入电场，有$NM_2=2r\sin60°=2\sqrt{3}L$
$M_1M_2=(2+3\sqrt{3})L$
$M_1$的横坐标为$x_1=\sqrt{3}L$(1分)
之后粒子做周期性运动，所求横坐标为$x=\sqrt{3}L+n× M_1M_2=\sqrt{3}L+(2+3\sqrt{3})nL(n = 0,1,2·s·s)$(2分)