《2026年高考领航卷物理》

15. (18分)如图所示,电阻不计、间距均为$l$的平行金属导轨$PM$、$P'M'$和$MN$、$M'N'$平滑连接后固定在绝缘水平面上,其中导轨$PM$、$P'M'$与水平面成$\theta = 37°$角、且处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中,导轨$MN$、$M'N'$水平放置且处于竖直向下的匀强磁场中,两磁场的磁感应强度大小均为$B$。两质量均为$m$、长度均为$l$、电阻均为$r$的导体棒$ab$、$cd$分别垂直于导轨$PM$、$P'M'$和$MN$、$M'N'$放置。现让导体棒$ab$由静止开始下滑,沿倾斜导轨下滑的距离为$d$时导体棒$cd$开始运动。已知导体棒$cd$只能在导轨$MN$、$M'N'$上运动,两导体棒与导轨$MN$、$M'N'$间的动摩擦因数均为$\mu = 0.2$,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,导体棒$ab$与导轨$PM$、$P'M'$间无摩擦,两导体棒运动过程中不发生相互碰撞、始终与导轨垂直且接触良好,重力加速度为$g$,$\sin 37° = 0.6$,$\cos 37° = 0.8$。

(1)在导体棒$ab$释放后下滑距离$d$的过程中,求导体棒$cd$上产生的焦耳热;
(2)在导体棒$ab$到达$MM'$之前,测得两导体棒的加速度大小不再发生变化,求此时两导体棒速度大小之差应满足的条件;
(3)当导体棒$ab$进入水平导轨后,导体棒$cd$的速度会经历一次从最小变化到最大的过程,试求此过程中两导体棒在水平导轨上运动的距离之差。

答案：
15.电磁感应、双棒模型、动量守恒定律
过程拆解：ab释放，沿导轨下滑$\rightarrow$cd开始运动时安培力与摩擦力关系；ab下滑d过程，ab、cd中电流（焦耳热）相等；ab到达$MM'$前匀加速；结合牛二对棒分析；速度差恒定$\rightarrow$回路中电流恒定。
解：
(1)当导体棒cd刚开始运动时，有$BI_{1}l=\mu mg$。
又因为$q = \overline{I}\Delta t=\frac{Bl\Delta x}{2r}$，设此时导体棒ab的下滑速度为$v_{0}$，则有$I_{1}=\frac{Blv_{0}}{2r}$。
棒ab下滑距离d的过程中，两棒产生的焦耳热相等[提示：两棒串联，电流时刻相等，且两棒电阻相同]，由能量守恒定律可得$mgd\sin\theta=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}+2Q$。
联立解得$\Delta x=\frac{2\mu m^{2}gr^{2}}{B^{4}l^{4}}$。
(2)两棒做匀加速运动时，对导体棒ab，有$mg\sin\theta - BI_{2}l = ma_{1}$；对导体棒cd，有$BI_{2}l-\mu mg = ma_{2}$，又有$a_{1}=a_{2}$。
回路中的总电动势为$E = Blv_{ab}-Blv_{cd}=Bl\Delta v$[提示：注意磁场方向，该过程棒cd所受安培力向左，两棒产生的感应电动势方向相反]。
由闭合电路欧姆定律可得$I_{2}=\frac{E}{2r}$。
以上各式联立可解得$\Delta v=\frac{4\mu mgr}{5B^{2}l^{2}}$。
(3)当导体棒ab滑上水平导轨后，二者之间的速度满足$v_{ab}＞v_{cd}$，由题意可知，导体棒cd先向左减速到零，然后再向右加速到速度最大[提示：ab相当于电源，cd依然为用电器]。
当导体棒cd的速度为零时，导体棒ab的速度大小为$v_{1}$，根据动量守恒定律有$m\Delta v = mv_{1}$。
　
当导体棒cd的速度最大时，有$BI_{3}l=\mu mg$。
设此时导体棒ab的速度大小为$v_{1}'$，cd的速度大小为$v_{2}$，则有$Bl(v_{1}'-v_{2})=I_{3}· 2r$。
设导体棒cd的速度从最小变到最大所用的时间为$\Delta t$，对导体棒ab，由动量定理可得$-(\mu mg + BIl)\Delta t = mv_{1}'-mv_{1}$；对导体棒cd，由动量定理可得$(BIl-\mu mg)\Delta t = mv_{2}$。
联立解得相关结果（题目中此处联立求解部分较混乱，未准确给出结果，需根据实际解题逻辑进一步推导）。