《2026年高考领航卷数学》

16. (15分)
已知盒中有4个编号分别为1，2，3，4的小球(小球除数字外完全相同)，甲、乙两人分别从盒中一次性随机取2个小球，甲先取，记录取到的小球编号后放回，然后乙再取。
(1) 求两人取到的小球编号之和相同的概率；
(2) 记两人取到的小球中编号相同的小球个数为$ X $，求$ X $的分布列及数学期望$ E(X) $。

答案： 16.古典概型 + 离散型随机变量的分布列与数学期望
解:
(1)第一步：求出所有可能情况的种数
甲、乙两人每人取2个小球，共有$C_{4}^{2}C_{4}^{2}=36$种不同的情况。(2分)
第二步：求出所求事件包含的情况种数
甲取到的小球编号的情况可能为$\{1,2\}$，$\{1,3\}$，$\{1,4\}$，$\{2,3\}$，$\{2,4\}$，$\{3,4\}$，(4分)
若甲、乙两人取到的小球编号之和相同，则乙对应取到的小球编号的所有情况如下：
甲：$\{1,2\}$，$\{1,4\}$，$\{2,3\}$，$\{2,4\}$，$\{3,4\}$
乙：$\{3,4\}$，$\{1,4\}$或$\{2,3\}$，$\{1,4\}$或$\{2,3\}$，$\{1,3\}$，$\{1,2\}$
所以共有8种情况。(7分)
第三步：利用古典概型的概率计算公式求得结果
设两人取到的小球编号之和相同为事件$A$，则$P(A)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。(9分)
评分标准：①表中与甲对应的乙的情况每写对2列给1分；②最终结果没有化成最简形式扣1分。
(2)第一步：求$X$的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列
由题意知$X$的所有可能取值为0，1，2，$P(X = 0)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}C_{4}^{2}}=\frac{1}{6}$，$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{1}C_{2}^{1}}{C_{4}^{2}C_{4}^{2}}=\frac{2}{3}$，$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}C_{4}^{2}}=\frac{1}{6}$，(利用概率之和为1进行检验)(13分)
所以$X$的分布列为
|$X$|0|1|2|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$P$|$\frac{1}{6}$|$\frac{2}{3}$|$\frac{1}{6}$|
第二步：利用期望公式求出结果
$E(X)=0×\frac{1}{6}+1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{6}=1$。(15分)
评分标准：①求$X$的所有可能取值对应的概率时每写对一个概率给1分；②求数学期望时，式子列对给1分，结果正确再给1分。