《2026年高考领航卷数学》

16. （15分）
如图，圆锥$ C O $的底面直径$ A B = 2 $，其侧面展开图为半圆，$ A D $是底面圆的一条弦。
(1) 当$ A B \perp C D $时，证明：$ D A = D B $；

(2) 若二面角$ C - A D - B $的余弦值为$ \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } $，求$ A D $。

答案：
16.线线垂直+线面垂直+二面角
解：
(1)第一步：利用线面垂直的性质证明$CO \perp AB$ 因为$CO \perp$平面ABD，$ABC$平面ABD，所以$CO \perp AB$。(1分)
第二步：连接OD，利用线面垂直的判定定理证明$AB \perp$平面COD 连接OD，因为$AB \perp CD$，且$CO \cap CD = C$，$CO,CD \subset$平面COD，所以$AB \perp$平面COD。(4分)
第三步：利用线面垂直的性质得到$AB \perp OD$，进而得到$DA = DB$ 因为$ODC$平面COD，所以$AB \perp OD$，又O为AB的中点，所以$DA = DB$。(6分)
评分标准 证明$AB \perp$平面COD时没有写相交条件扣1分。
(2)解法一 第一步：求圆锥的母线长 设圆锥CO的母线长为l，则$\pi l = 2\pi$，故$l = 2$，即$CA = CB = CD = 2$。(8分)
第二步：取AD的中点H，连接OH，CH，找到二面角C—AD—B的平面角 如图，取AD的中点H，连接OH，CH，则$OH \perp AD$，$AD \perp CH$，(10分) 所以$\angle CHO$为二面角C—AD—B的平面角。(11分)
第三步：在Rt△COH中求得结果 设$AD = a(0 ＜ a ＜ 2)$，则$OH = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{4 - a^2}}{2}$，(提示：在Rt△ADB中求解BD)$CH = \sqrt{CD^2 - DH^2} = \frac{\sqrt{16 - a^2}}{2}$，(13分)所以$\cos \angle CHO = \frac{OH}{CH} = \frac{\frac{\sqrt{4 - a^2}}{2}}{\frac{\sqrt{16 - a^2}}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，得$a = 1$，即$AD = 1$。(15分)
解法二 第一步：求圆锥的母线长与高 设圆锥CO的母线长为l，则$\pi l = 2\pi$，故$l = 2$，即$CA = CB = CD = 2$，则$OC = \sqrt{3}$。(8分)
第二步：建立空间直角坐标系，写出相关点、向量的坐标 如图，取弧AB的中点M(与点D在弦AB同侧)，连接OM，则$OM \perp AB$，以O为坐标原点，$\overrightarrow{OM}$的方向为x轴正方向，$\overrightarrow{OB}$的方向为y轴正方向，$\overrightarrow{OC}$的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，则$A(0,-1,0)$，$C(0,0,\sqrt{3})$，设$D(x_0,y_0,0)$，其中$x_0 \neq 0$且$x_0^2 + y_0^2 = 1$，则$\overrightarrow{AC} = (0,1,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AD} = (x_0,y_0 + 1,0)$。(10分)
第三步：分别求平面ACD及平面ABD的法向量 设平面ACD的法向量为$\mathbf{m} = (x,y,z)$，由$\begin{cases}\mathbf{m} · \overrightarrow{AC} = 0 \\ \mathbf{m} · \overrightarrow{AD} = 0\end{cases}$得$\begin{cases}y + \sqrt{3}z = 0 \\ x_0x + (y_0 + 1)y = 0\end{cases}$，可取$\mathbf{m} = (\sqrt{3}(y_0 + 1),-\sqrt{3}x_0,x_0)$。(11分)易得$\mathbf{n} = (0,0,1)$为平面ABD的一个法向量。(12分)
第四步：利用向量的夹角公式求出点D的坐标，即可求出AD 所以$|\cos \langle \mathbf{m},\mathbf{n} \rangle| = \frac{|\mathbf{m} · \mathbf{n}|}{|\mathbf{m}| · |\mathbf{n}|} = \frac{|x_0|}{\sqrt{[\sqrt{3}(y_0 + 1)]^2 + (-\sqrt{3}x_0)^2 + x_0^2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，解得$y_0 = -\frac{1}{2}(y_0 = -1$舍去)，所以$x_0 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，(14分)此时$AD = \sqrt{(\pm \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2} + 1)^2} = 1$。(15分)
方法技巧 解决立体几何问题的关键：
(1)围绕线线、线面、面面位置关系的证明，要注意书写规范和证明过程中逻辑段的完整性；
(2)围绕空间角的三角函数值的计算，注意结合图形，寻求垂直关系，通过建系写出点及向量的坐标，利用直线的方向向量或平面的法向量来求相关角的三角函数值。