《2026年高考领航卷数学》

1. 已知集合$ M = \{ x | \log _ { 2 } ( x + 1 ) ＜ 2 \} $，$ N = \{ x | x ^ { 2 } - x \geqslant 0 \} $，则$ M \cap N = $

A.$ \{ x | - 1 ＜ x ＜ 3 \} $
B.$ \{ x | - 1 ＜ x \leqslant 0 $或$ 1 \leqslant x ＜ 3 \} $
C.$ \{ x | 0 ＜ x ＜ 3 \} $
D.$ \{ x | - 1 ＜ x ＜ 0 $或$ 1 \leqslant x ＜ 3 \} $

答案： 1.B 集合的交运算+对数不等式+一元二次不等式 由$\log_2(x + 1) ＜ 2$得$-1 ＜ x ＜ 3$，(点拨:注意对数的真数大于0)故$M = \{x\mid -1 ＜ x ＜ 3\}$，由$x^2 - x \geq 0$得$x \leq 0$或$x \geq 1$，故$N = \{x\mid x \leq 0$或$x \geq 1\}$，从而$M \cap N = \{x\mid -1 ＜ x \leq 0$或$1 \leq x ＜ 3\}$，故选B。

2. 命题“$ \forall x \in \mathbf { R } $，$ \cos x \geqslant 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } $”的否定为

A.$ \forall x \in \mathbf { R } $，$ \cos x ＜ 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } $
B.$ \forall x \in \mathbf { R } $，$ \cos x \leqslant 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } $
C.$ \exists x \in \mathbf { R } $，$ \cos x ＜ 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } $
D.$ \exists x \in \mathbf { R } $，$ \cos x \geqslant 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } $

答案： 2.C 全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，将“$\forall x \in \mathbf{R}$”改写成“$\exists x \in \mathbf{R}$”，且对结论进行否定，故命题“$\forall x \in \mathbf{R},\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}$”的否定为“$\exists x \in \mathbf{R},\cos x ＜ 1 - \frac{x^2}{2}$”，故选C。
方法技巧 一般地，命题“$\forall x \in M,p(x)$”的否定是“$\exists x \in M,\neg p(x)$”，命题“$\exists x \in M,p(x)$”的否定是“$\forall x \in M,\neg p(x)$”。

3. 已知两个线性相关变量$ x $与$ y $的统计数据如下表：

其经验回归方程为$ \hat { y } = 0.74 x + 0.1 $，则$ m = $

A.$ 2.8 $
B.$ 3 $
C.$ 3.2 $
D.$ 3.4 $

答案： 3.A 经验回归方程 因为$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = 5$，所以$\bar{y} = 0.74\bar{x} + 0.1 = 0.74 × 5 + 0.1 = 3.8$，所以$2.4 + m + 4 + 4.6 + 5.2 = 3.8 × 5$，得$m = 2.8$，故选A。

4. 若点$ ( a, b ) ( a ＞ 0 ) $为函数$ y = \tan ( x - \frac { 2 \pi } { 3 } ) + \frac { \pi } { 3 } $的图象的一个对称中心，则$ a + b $的最小值为

A.$ \frac { \pi } { 6 } $
B.$ \frac { \pi } { 4 } $
C.$ \frac { \pi } { 3 } $
D.$ \frac { \pi } { 2 } $

答案： 4.D 三角函数的图象与性质 由$a - \frac{2\pi}{3} = \frac{k\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$，得$a = \frac{2\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$，因为$a ＞ 0$，所以a的最小值为$\frac{\pi}{6}$，又$b = \frac{\pi}{3}$，故$a + b$的最小值为$\frac{\pi}{2}$，故选D。
结论拓展 已知函数$f(x) = \tan(\omega x + \varphi) + B(\omega \neq 0)$，则$f(x)$图象的对称中心是$(\frac{k\pi}{2} - \frac{\varphi}{\omega},B)(k \in \mathbf{Z})$。

5. 已知函数$ f ( x ) = \frac { 1 } { x ( x + 2 ) } + ( x + 1 ) ^ { 2 } ( x ＞ 0 ) $，则$ f ( x ) $的最小值为

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 2 \sqrt { 2 } $
D.$ 3 \sqrt { 2 } $

答案： 5.B 函数的最值 解法一 由题可得$f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x} + (x^2 + 2x) + 1 \geq 2\sqrt{\frac{1}{x^2 + 2x} · (x^2 + 2x)} + 1 = 3$，(点拨：基本不等式的应用)当且仅当$\frac{1}{x^2 + 2x} = x^2 + 2x$，即$x = \sqrt{2} - 1$时等号成立，(注意等号成立的条件及x的取值范围)故$f(x)$的最小值为3。
解法二 由题可知$f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x} + (x^2 + 2x) + 1$，令$t = x^2 + 2x$，(换元法的应用)则$t ＞ 0$，设$g(t) = \frac{1}{t} + t + 1$，则$g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$，令$g'(t) ＞ 0$得$t ＞ 1$，所以$g(t)$在$(1, +\infty)$上单调递增，令$g'(t) ＜ 0$得$0 ＜ t ＜ 1$，所以$g(t)$在$(0,1)$上单调递减，故当$t = 1$时，$g(t)$取得最小值3，此时$x = \sqrt{2} - 1$。故$f(x)$的最小值为3。