《2026年高考领航卷数学》

19. (17分)
【大庆市2026届高三第一次质检】2025年7月16日-27日,第32届世界大学生运动会在德国举行。在比赛期间,运动员甲(来自中国)和运动员乙(来自澳大利亚)因赛事成为朋友。运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章,其中乒乓球、羽毛球、篮球3个项目的徽章各1枚;运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目(乒乓球、羽毛球、篮球)徽章。两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外,其余完全相同。为了加深友谊,两人在比赛期间约定,每次见面时,都随机取出1枚徽章与对方进行交换,运动会结束时已重复进行了$n(n\in\mathbf{N}^{*})$次交换。
(1)求3次交换后,运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率;
(2)求$n$次交换后,运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率(结果用含$n$的式子表示);
(3)求$n$次交换后,运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动的概率(结果用含$n$的式子表示),并求出这个概率的最大值。

答案： 19. 相互独立事件的概率+全概率公式+数列
(1) 记 $3$ 次交换后，运动员甲有 $3$ 枚熊猫主题徽章为事件 $A$，交换过程包含两种情况：
① 第 $1$ 次运动员甲用熊猫主题徽章与运动员乙的袋鼠主题徽章交换，概率为 $1$；第 $2$ 次运动员甲用袋鼠主题徽章与运动员乙的袋鼠主题徽章交换，概率为 $\frac{1}{3}×\frac{2}{3} = \frac{2}{9}$；第 $3$ 次运动员甲用袋鼠主题徽章与运动员乙的熊猫主题徽章交换，概率为 $\frac{1}{3}×\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。所以第一种情况的概率为 $P_1 = 1×\frac{2}{9}×\frac{1}{9} = \frac{2}{81}$。
② 第 $1$ 次运动员甲用熊猫主题徽章与运动员乙的袋鼠主题徽章交换，概率为 $1$；第 $2$ 次运动员甲用熊猫主题徽章与运动员乙的熊猫主题徽章交换，概率为 $\frac{2}{3}×\frac{1}{3} = \frac{2}{9}$；第 $3$ 次运动员甲用袋鼠主题徽章与运动员乙的熊猫主题徽章交换，概率为 $\frac{1}{3}×\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。所以第二种情况的概率为 $P_2 = 1×\frac{2}{9}×\frac{1}{9} = \frac{2}{81}$。
所以 $3$ 次交换后，运动员甲有 $3$ 枚熊猫主题徽章的概率为 $P(A) = \frac{2}{81} + \frac{2}{81} = \frac{4}{81}$（互斥事件的概率加法公式的应用）。
(2) 记 $n$ 次交换后，运动员乙有 $3$ 枚相同动物主题徽章的概率为 $p_n$，则 $p_1 = 0$。当 $n\geq2$ 时，$n - 1$ 次交换后，运动员乙的徽章只有两种可能，一种是 $3$ 枚徽章都是相同动物，另一种是 $3$ 枚徽章中有 $1$ 枚不同动物。记 $n - 1$ 次交换后，运动员乙的 $3$ 枚徽章动物相同为事件 $B_1$，动物不同为事件 $B_2$，则 $P(B_1) = p_{n - 1}$，$P(B_2) = 1 - p_{n - 1}$。
记 $n$ 次交换后，运动员乙有 $3$ 枚相同动物主题徽章为事件 $C$，因为在 $n - 1$ 次交换后徽章动物相同的条件下，$n$ 次交换后 $3$ 枚徽章动物不可能相同，即 $P(C|B_1) = 0$；在 $n - 1$ 次交换后徽章动物不同的条件下，$n$ 次交换后 $3$ 枚徽章动物相同的概率 $P(C|B_2) = \frac{1}{3}×\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。当 $n\geq2$ 时，根据全概率公式可得：$p_n = P(C) = P(C|B_1)× P(B_1) + P(C|B_2)× P(B_2) = 0× p_{n - 1} + \frac{1}{9}×(1 - p_{n - 1}) = \frac{1}{9}(1 - p_{n - 1})$（全概率公式的应用）。
所以 $p_n - \frac{1}{10} = -\frac{1}{9}\left(p_{n - 1} - \frac{1}{10}\right)$（$n\geq2$），即 $\left\{p_n - \frac{1}{10}\right\}$ 是首项为 $-\frac{1}{10}$，公比为 $-\frac{1}{9}$ 的等比数列，所以 $p_n - \frac{1}{10} = -\frac{1}{10}×\left(-\frac{1}{9}\right)^{n - 1}$，即 $p_n = \frac{1}{10} - \frac{1}{10}×\left(-\frac{1}{9}\right)^{n - 1} = \frac{1}{10} + \frac{9}{10}×\left(-\frac{1}{9}\right)^n$。
(3) 记 $n$ 次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球 $3$ 项运动的概率为 $q_n$，则 $q_1 = 3×\frac{1}{3}×\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$。当 $n\geq2$ 时，$n - 1$ 次交换后，运动员甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球、羽毛球、篮球 $3$ 项运动，另一种是只包含乒乓球、羽毛球、篮球 $3$ 项运动中的 $2$ 项。
若 $n - 1$ 次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球 $3$ 项运动，则 $n$ 次交换后运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球 $3$ 项运动的概率为 $3×\frac{1}{3}×\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$。若 $n - 1$ 次交换后，运动员甲的徽章只包含乒乓球、羽毛球、篮球 $3$ 项运动中的 $2$ 项，则运动员甲的 $3$ 枚徽章中一定有 $2$ 枚相同运动的徽章（比如 $2$ 枚乒乓球徽章，$1$ 枚羽毛球徽章），运动员乙的 $3$ 枚徽章中也一定有 $2$ 枚相同运动的徽章，当运动员甲、乙分别取出各自的 $2$ 枚相同运动徽章中的 $1$ 枚进行交换后，运动员甲的 $3$ 枚徽章就包含乒乓球、羽毛球、篮球 $3$ 项运动，此事件发生的概率为 $\frac{2}{3}×\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$。
当 $n\geq2$ 时，根据全概率公式可得：$q_n = \frac{1}{3}q_{n - 1} + \frac{4}{9}(1 - q_{n - 1}) = \frac{4}{9} - \frac{1}{9}q_{n - 1}$，所以 $q_n - \frac{2}{5} = -\frac{1}{9}\left(q_{n - 1} - \frac{2}{5}\right)$（$n\geq2$），即 $\left\{q_n - \frac{2}{5}\right\}$ 是首项为 $-\frac{1}{15}$，公比为 $-\frac{1}{9}$ 的等比数列，所以 $q_n - \frac{2}{5} = -\frac{1}{15}×\left(-\frac{1}{9}\right)^{n - 1}$，即 $q_n = \frac{2}{5} - \frac{1}{15}×\left(-\frac{1}{9}\right)^{n - 1} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5}×\left(-\frac{1}{9}\right)^n$（根据 $q_n$ 的形式可知，求 $q_n$ 的最大值需要对 $n$ 分奇偶讨论）。
当 $n$ 为奇数时，$q_n = \frac{2}{5} - \frac{3}{5}×\left(\frac{1}{9}\right)^n\geq\frac{2}{5} - \frac{1}{15} = \frac{1}{3}$，且 $q_n = \frac{2}{5} - \frac{3}{5}×\left(\frac{1}{9}\right)^n\lt\frac{2}{5}$；当 $n$ 为偶数时，$q_n = \frac{2}{5} + \frac{3}{5}×\left(\frac{1}{9}\right)^n\leq\frac{2}{5} + \frac{1}{135} = \frac{11}{27}$。所以当 $n = 2$ 时，$q_n$ 取到最大值 $\frac{11}{27}$。