《2026年高考领航卷数学》

17.（15分）
已知函数$f(x) = \ln(ax)$。
（1）当$a = 1$时，求方程$f(x) = e^{x - 1} - 1$的解；
（2）若$a \in (1, + \infty)$，$b \in (0,1)$，证明：$f(x) ＜ \frac{x^{b} + a - 2}{b}$。

答案： 17.利用导数研究函数的单调性、零点+不等式证明问题
解:
(1)第一步:构造函数,将方程解的问题转换为函数的零点问题
当$a = 1$时,方程$f(x)=\mathrm{e}^{x - 1}-1$即$\ln x-\mathrm{e}^{x - 1}+1 = 0$。设$g(x)=\ln x-\mathrm{e}^{x - 1}+1$,则问题可以转化为求$g(x)$的零点。
第二步:利用导数研究$g(x)$的单调性及零点情况
因为$g'(x)=\frac{1}{x}-\mathrm{e}^{x - 1}$,所以$g'(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减,且$g'(1)=0$,
所以当$x\in(0,1)$时,$g'(x)＞0$,$g(x)$单调递增,当$x\in(1,+\infty)$时,$g'(x)＜0$,$g(x)$单调递减,
所以$g(x)\leqslant g(1)=0$,当且仅当$x = 1$时取等号,故$g(x)$只有一个零点$x = 1$。
第三步:确定原方程的解
所以当$a = 1$时,方程$f(x)=\mathrm{e}^{x - 1}-1$的解为$x = 1$。
(2)第一步:转化不等式
因为$a\in(1,+\infty)$,所以$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$,
又$b\in(0,1)$,所以原不等式可化为$x^{b}-b\ln(ax)＞2 - a(x\in(0,+\infty))$。
第二步:构造函数,并研究函数的单调性与最小值
设$h(x)=x^{b}-b\ln(ax)$,则$h'(x)=\frac{b(x^{b}-1)}{x}$,
当$x\in(0,1)$时,$h'(x)＜0$,$h(x)$单调递减,当$x\in(1,+\infty)$时,$h'(x)＞0$,$h(x)$单调递增,
所以$h(x)\geqslant h(1)=1 - b\ln a$。
第三步:放缩,将原问题转化为证明$\ln a - a + 1 ＜ 0$
所以原问题可转化为证明$1 - b\ln a＞2 - a$,即证$\ln a - a + 1 ＜ 0$,
因为$a\in(1,+\infty)$,$b\in(0,1)$,所以$b\ln a＜\ln a$,
所以只需证明$\ln a - a + 1 ＜ 0$。
第四步:构造函数,利用导数证明不等式
设$\varphi(a)=\ln a - a + 1(a\in(1,+\infty))$,则$\varphi'(a)=\frac{1 - a}{a}＜0$,所以$\varphi(a)$在$(1,+\infty)$上单调递减,所以$\varphi(a)＜\varphi(1)=0$,故$\ln a - a + 1 ＜ 0$。
所以当$a\in(1,+\infty)$,$b\in(0,1)$时,$f(x)＜\frac{x^{b}+a - 2}{b}$。