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2026年高考领航卷数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2026年高考领航卷数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
17. (15分)
如图1，在四边形$ ABCD $中，$ AB \perp AD $，$ \angle ABC = 30^{\circ} $，$ \angle ADC = \angle BCD $，点$ E $满足$ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC} $，$ F $为$ AB $的中点，$ AB = 6\sqrt{3} $，$ BE = 6 $。将$ \triangle BEF $沿$ EF $翻折至$ \triangle GEF $，使得$ GC = 8 $，如图2。
(1) 证明：$ GF \perp $平面$ AFECD $。
(2) 已知$ M $，$ N $分别在线段$ GE $，$ GF $上，且$ NC = 7 $，$ GM = \frac{1}{2}ME $。
(i) 证明：$ AD // $平面$ MNC $；
(ii) 求二面角$ A - DN - C $的正弦值。
如图1，在四边形$ ABCD $中，$ AB \perp AD $，$ \angle ABC = 30^{\circ} $，$ \angle ADC = \angle BCD $，点$ E $满足$ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC} $，$ F $为$ AB $的中点，$ AB = 6\sqrt{3} $，$ BE = 6 $。将$ \triangle BEF $沿$ EF $翻折至$ \triangle GEF $，使得$ GC = 8 $，如图2。
(1) 证明：$ GF \perp $平面$ AFECD $。
(2) 已知$ M $，$ N $分别在线段$ GE $，$ GF $上，且$ NC = 7 $，$ GM = \frac{1}{2}ME $。
(i) 证明：$ AD // $平面$ MNC $；
(ii) 求二面角$ A - DN - C $的正弦值。
答案：
17.线面垂直+线面平行+二面角的正弦值
解：
(1)在题图1中连接AE，在$\triangle ABE$中，$AB = 6\sqrt{3}，$BE = 6，$\angle ABE = 30^{\circ}，$所以$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB · BE \cos \angle ABE = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2×6\sqrt{3} × 6 × \cos 30^{\circ} = 36，$(余弦定理的应用)故AE = 6，又F为AB的中点，所以$EF \perp AB，$EF = 3，所以$GF \perp EF。$由$\overrightarrow{BE} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}，$得EC = 4，易知$\angle BEF = \angle AE$
解：
(1)在题图1中连接AE，在$\triangle ABE$中，$AB = 6\sqrt{3}，$BE = 6，$\angle ABE = 30^{\circ}，$所以$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB · BE \cos \angle ABE = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2×6\sqrt{3} × 6 × \cos 30^{\circ} = 36，$(余弦定理的应用)故AE = 6，又F为AB的中点，所以$EF \perp AB，$EF = 3，所以$GF \perp EF。$由$\overrightarrow{BE} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}，$得EC = 4，易知$\angle BEF = \angle AE$
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