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2026年高考领航卷数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2026年高考领航卷数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
12.【吉林一中2026届第一次质检】已知函数$y = f(x)+x^{3}$是偶函数,若$f(10)=20$,则$f(-10)=$_。
答案：
12. 函数的奇偶性+函数求值
设 $g(x) = f(x) + x^3$，则 $g(x)$ 是偶函数，$g(-10) = g(10) = f(10) + 1000 = 1020$，则 $g(-10) = f(-10) - 1000 = 1020$，所以 $f(-10) = 2020$。
设 $g(x) = f(x) + x^3$，则 $g(x)$ 是偶函数，$g(-10) = g(10) = f(10) + 1000 = 1020$，则 $g(-10) = f(-10) - 1000 = 1020$，所以 $f(-10) = 2020$。
13.【浙江省部分学校高2026届高三10月月考】已知抛物线$C:y^{2}=6x$的焦点为$F$,过点$F$的直线$l$与抛物线$C$交于$M,N$两点,若$|MN| = 54$,则直线$l$的斜率为_。
答案：
13. 抛物线的方程、定义与性质+直线的斜率+直线与抛物线的位置关系
易知 $F\left(\frac{3}{2}, 0\right)$，设直线 $l$ 的方程为 $y = k\left(x - \frac{3}{2}\right)$（$k\neq0$），与抛物线方程联立，得 $\begin{cases}y^2 = 6x\\y = k\left(x - \frac{3}{2}\right)\end{cases}$，消去 $y$ 得 $k^2x^2 - (3k^2 + 6)x + \frac{9}{4}k^2 = 0$，设 $M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$，则 $x_1 + x_2 = \frac{3k^2 + 6}{k^2}$。因为 $|MN| = 54$，所以 $x_1 + x_2 + 3 = 54$，即 $\frac{3k^2 + 6}{k^2} + 3 = 54$，解得 $k = \pm\frac{\sqrt{2}}{4}$，即直线 $l$ 的斜率为 $\pm\frac{\sqrt{2}}{4}$。
易知 $F\left(\frac{3}{2}, 0\right)$，设直线 $l$ 的方程为 $y = k\left(x - \frac{3}{2}\right)$（$k\neq0$），与抛物线方程联立，得 $\begin{cases}y^2 = 6x\\y = k\left(x - \frac{3}{2}\right)\end{cases}$，消去 $y$ 得 $k^2x^2 - (3k^2 + 6)x + \frac{9}{4}k^2 = 0$，设 $M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$，则 $x_1 + x_2 = \frac{3k^2 + 6}{k^2}$。因为 $|MN| = 54$，所以 $x_1 + x_2 + 3 = 54$，即 $\frac{3k^2 + 6}{k^2} + 3 = 54$，解得 $k = \pm\frac{\sqrt{2}}{4}$，即直线 $l$ 的斜率为 $\pm\frac{\sqrt{2}}{4}$。
14.【深圳外国语学校2026届高三第一次月考】将9个互不相同的向量$\boldsymbol{a}_{i}=(x_{i},y_{i})$,$x_{i},y_{i}\in\{1,2,4\},i = 1,2,·s,9$填入如图所示$3× 3$的方格中,每个方格填一个向量,使得每行、每列的三个向量之间两两都不共线,则不同的填法种数是_。
答案：
14. 向量共线+分步乘法计数原理
由 $x_i, y_i\in\{1, 2, 4\}$，可知 $\boldsymbol{a}_i = (x_i, y_i)$ 表示的 $9$ 个不同的向量为 $(1, 1)$，$(1, 2)$，$(1, 4)$，$(2, 1)$，$(2, 2)$，$(2, 4)$，$(4, 1)$，$(4, 2)$，$(4, 4)$，其中向量 $(1, 1)$，$(2, 2)$，$(4, 4)$ 两两共线，向量 $(1, 2)$，$(2, 4)$ 共线，向量 $(2, 1)$，$(4, 2)$ 共线。
第一步填 $(1, 1)$，$(2, 2)$，$(4, 4)$：第一个向量有 $9$ 种填法，一旦填入，该向量所在行和所在列都不能再填其他两个向量，则第二个向量有 $4$ 种填法，第三个向量有 $1$ 种填法，共 $9×4×1 = 36$ 种填法。
第二步填 $(1, 2)$，$(2, 4)$：第一步结束后，每行每列都有一个向量，第一个向量有 $6$ 种填法，第二个向量有 $3$ 种填法，共 $6×3 = 18$ 种填法。
第三步填 $(2, 1)$，$(4, 2)$：剩余的 $4$ 个方格的排布有四种情况，从每种情况剩余的 $4$ 个方格中选 $2$ 个不同行不同列的方格均只有 $4$ 种情况，然后将这两个向量填入所选的 $2$ 个方格中，共 $4×2! = 8$ 种填法。
第四步填 $(1, 4)$，$(4, 1)$：共 $2$ 种填法。
分析发现，无论第一步选中了哪3个方格，都可以通过平移列移成如图1所示的情况(有“√”的为已填向量的方格)，下面以图1所示情况为例分析剩余向量的填法。
且从每种情况剩余的4个方格中选2个不同行不同列的方格均只有4种情况，然后将这两个向量填入所选的2个方格中,则第三步共有4×2！=8种填法。
剩余的4个方格的排布有图2 - 5这四种情况(有“√”“O”的为已填向量的方格)，(提示:剩余4个方格的所有排布情况都可通过旋转、翻转转化为这四种情况)
由分步乘法计数原理知，共有 $36×18×8×2 = 10368$ 种不同的填法。
14. 向量共线+分步乘法计数原理
由 $x_i, y_i\in\{1, 2, 4\}$，可知 $\boldsymbol{a}_i = (x_i, y_i)$ 表示的 $9$ 个不同的向量为 $(1, 1)$，$(1, 2)$，$(1, 4)$，$(2, 1)$，$(2, 2)$，$(2, 4)$，$(4, 1)$，$(4, 2)$，$(4, 4)$，其中向量 $(1, 1)$，$(2, 2)$，$(4, 4)$ 两两共线，向量 $(1, 2)$，$(2, 4)$ 共线，向量 $(2, 1)$，$(4, 2)$ 共线。
第一步填 $(1, 1)$，$(2, 2)$，$(4, 4)$：第一个向量有 $9$ 种填法，一旦填入，该向量所在行和所在列都不能再填其他两个向量，则第二个向量有 $4$ 种填法，第三个向量有 $1$ 种填法，共 $9×4×1 = 36$ 种填法。
第二步填 $(1, 2)$，$(2, 4)$：第一步结束后，每行每列都有一个向量，第一个向量有 $6$ 种填法，第二个向量有 $3$ 种填法，共 $6×3 = 18$ 种填法。
第三步填 $(2, 1)$，$(4, 2)$：剩余的 $4$ 个方格的排布有四种情况，从每种情况剩余的 $4$ 个方格中选 $2$ 个不同行不同列的方格均只有 $4$ 种情况，然后将这两个向量填入所选的 $2$ 个方格中，共 $4×2! = 8$ 种填法。
第四步填 $(1, 4)$，$(4, 1)$：共 $2$ 种填法。
分析发现，无论第一步选中了哪3个方格，都可以通过平移列移成如图1所示的情况(有“√”的为已填向量的方格)，下面以图1所示情况为例分析剩余向量的填法。
且从每种情况剩余的4个方格中选2个不同行不同列的方格均只有4种情况，然后将这两个向量填入所选的2个方格中,则第三步共有4×2！=8种填法。
剩余的4个方格的排布有图2 - 5这四种情况(有“√”“O”的为已填向量的方格)，(提示:剩余4个方格的所有排布情况都可通过旋转、翻转转化为这四种情况)
由分步乘法计数原理知，共有 $36×18×8×2 = 10368$ 种不同的填法。
15. (13分)
【安徽省部分学校高三学情检测】已知函数$f(x)=a\ln x+\frac{\ln x}{x}-\frac{3}{2x}$。
(1)若曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与$x$轴平行,求实数$a$的值;
(2)若$a = 0$,求$f(x)$的单调区间。
【安徽省部分学校高三学情检测】已知函数$f(x)=a\ln x+\frac{\ln x}{x}-\frac{3}{2x}$。
(1)若曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与$x$轴平行,求实数$a$的值;
(2)若$a = 0$,求$f(x)$的单调区间。
答案：
15. 导数的几何意义+函数的单调区间
(1) 由题知 $f^\prime(x) = \frac{a}{x} + \frac{1 - \ln x}{x^2} + \frac{3}{2x^2}$，则 $f^\prime(1) = a + \frac{5}{2}$。又因为曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，故 $a + \frac{5}{2} = 0$，解得 $a = -\frac{5}{2}$。
(2) 若 $a = 0$，则 $f(x) = \frac{\ln x}{x} - \frac{3}{2x}$，定义域为 $(0, +\infty)$，$f^\prime(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} + \frac{3}{2x^2} = \frac{5 - 2\ln x}{2x^2}$。令 $f^\prime(x) = 0$ 可得 $x = e^{\frac{5}{2}}$。当 $x\in\left(0, e^{\frac{5}{2}}\right)$ 时，$f^\prime(x)\gt0$；当 $x\in\left(e^{\frac{5}{2}}, +\infty\right)$ 时，$f^\prime(x)\lt0$。所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0, e^{\frac{5}{2}}\right)$，单调递减区间为 $\left(e^{\frac{5}{2}}, +\infty\right)$。
(1) 由题知 $f^\prime(x) = \frac{a}{x} + \frac{1 - \ln x}{x^2} + \frac{3}{2x^2}$，则 $f^\prime(1) = a + \frac{5}{2}$。又因为曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，故 $a + \frac{5}{2} = 0$，解得 $a = -\frac{5}{2}$。
(2) 若 $a = 0$，则 $f(x) = \frac{\ln x}{x} - \frac{3}{2x}$，定义域为 $(0, +\infty)$，$f^\prime(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} + \frac{3}{2x^2} = \frac{5 - 2\ln x}{2x^2}$。令 $f^\prime(x) = 0$ 可得 $x = e^{\frac{5}{2}}$。当 $x\in\left(0, e^{\frac{5}{2}}\right)$ 时，$f^\prime(x)\gt0$；当 $x\in\left(e^{\frac{5}{2}}, +\infty\right)$ 时，$f^\prime(x)\lt0$。所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0, e^{\frac{5}{2}}\right)$，单调递减区间为 $\left(e^{\frac{5}{2}}, +\infty\right)$。
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