《2026年高考领航卷数学》

6. 【南京市2026届高三学情调研】已知点$ A(-1,1) $，$ B(3,3) $，线段$ AB $为$ \odot M $的一条直径。设过点$ C(2,-1) $且与$ \odot M $相切的两条直线的斜率分别为$ k_1 $，$ k_2 $，则$ k_1 + k_2 = $

A.$ -\frac{3}{2} $
B.$ -\frac{2}{3} $
C.$ \frac{2}{3} $
D.$ \frac{3}{2} $

答案： 6. 直线与圆的位置关系
题目：因为A(-1, 1)，B(3, 3)，线段AB为⊙M的一条直径，所以圆心M(1, 2)，⊙M的半径r = (1/2)|AB| = (1/2)√((-1 - 3)² + (1 - 3)²) = √5。易知两条切线的斜率均存在，故设⊙M的过点C(2, -1)的切线方程为y = k(x - 2) - 1，则圆心M(1, 2)到直线y = k(x - 2) - 1的距离d = |-k - 3|/√(1 + k²) = r = √5，化简可得2k² - 3k - 2 = 0，易知k₁, k₂是该方程的两个根，则k₁ + k₂ = 3/2，故选D。

7. 【2026届广州市高三阶段训练】已知一条直线与抛物线$ y^2 = 2px(p ＞ 0) $交于$ A $，$ B $两点，过坐标原点$ O $引$ AB $的垂线$ OD $，垂足$ D $的坐标为$ (2,1) $，$ \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = 5 $，则$ p = $

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.1
D.2

答案： 7. 直线与抛物线的位置关系+直线的斜率+向量的数量积
题目：第一步：确定直线AB的方程。由题意，直线OD的斜率kOD = (1 - 0)/(2 - 0) = 1/2，因为OD ⊥ AB，所以直线AB的斜率kAB = -1/(1/2) = -2。又点D(2, 1)在直线AB上，所以直线AB的方程为y - 1 = -2(x - 2)，即y = -2x + 5。
第二步：联立直线AB与抛物线的方程，得根与系数的关系。联立方程{y = -2x + 5；y² = 2px}，整理得y² + py - 5p = 0，Δ = p² + 20p ＞ 0，设A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则{y₁ + y₂ = -p；y₁y₂ = -5p}。
第三步：根据OA · OB = 5及根与系数的关系建立方程，求解p的值。因为OA = (x₁, y₁)，OB = (x₂, y₂)，所以OA · OB = x₁x₂ + y₁y₂ = ((5 - y₁)/2) · ((5 - y₂)/2) + y₁y₂ = (5/4)y₁y₂ - (5/4)(y₁ + y₂) + 25/4 = -5p + 25/4 = 5，解得p = 1/4。故选B。

8. 【2026届北京高三开学摸底】从点$ A(1,a) $可向曲线$ y = x - x^3 $引三条不同切线，则$ a $的取值范围为

A.$ -1 ＜ a ＜ 0 $
B.$ 0 ＜ a ＜ 1 $
C.$ 1 ＜ a ＜ 2 $
D.$ 2 ＜ a ＜ 3 $

答案： 8. 导数的几何意义+利用导数研究函数的单调性与极值+函数的零点
题目：设曲线y = x - x³在点Q(x₀, y₀)处的切线过点A(1, a)，由y = x - x³，求导得y' = 1 - 3x²，所以y'|x = x₀ = 1 - 3x₀²，所以曲线y = x - x³在点Q(x₀, y₀)处的切线方程为y - y₀ = (1 - 3x₀²)(x - x₀)，因为从点A(1, a)可向曲线y = x - x³引三条不同切线，所以关于x₀的方程a - (x₀ - x₀³) = (1 - 3x₀²)(1 - x₀)有三个不同的解，即关于x₀的方程2x₀³ - 3x₀² + 1 - a = 0有三个不同的解。设g(x) = 2x³ - 3x² + 1 - a，则函数g(x)有三个不同的零点。
求导得g'(x) = 6x² - 6x = 6x(x - 1)，令g'(x) = 0，得x = 0或x = 1，且当x ∈ (-∞, 0)或x ∈ (1, +∞)时，g'(x) ＞ 0，当x ∈ (0, 1)时，g'(x) ＜ 0，所以函数g(x)在区间(0, 1)上单调递减，在区间(-∞, 0)和(1, +∞)上单调递增，所以函数g(x)在x = 0，x = 1处分别取得极大值、极小值，且当x → -∞时，g(x) → -∞，当x → +∞时，g(x) → +∞。因为函数g(x)有三个不同的零点，所以{g
(0) ＞ 0；g
(1) ＜ 0}，即{1 - a ＞ 0；2 - 3 + 1 - a ＜ 0}，解得0 ＜ a ＜ 1。故选B。

9. 【西安市西北工业大学附属中学2026届高三一模】下列说法正确的是

A.若随机变量$ X $服从正态分布$ N(3,\sigma^2) $，且$ P(X ＜ 4) = 0.7 $，则$ P(3 ＜ X ＜ 4) = 0.2 $
B.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
C.已知$ r $为线性相关系数，若$ |r| $越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.具有线性相关关系的变量$ x $，$ y $的线性回归方程为$ \hat{y} = 0.3x - m $，若样本点的中心为$ (m,2.8) $，则实数$ m $的值是$ -4 $

答案： 9. 正态分布+百分位数+线性相关系数+线性回归方程
题目：A(√) 因为X ~ N(3, σ²)，P(X ＜ 4) = 0.7，所以P(3 ＜ X ＜ 4) = P(X ＜ 4) - P(X ≤ 3) = 0.7 - 0.5 = 0.2。
B(×) 因为10 × 60% = 6，所以数据10, 11, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 22的第60百分位数为(14 + 16)/2 = 15。
C(√) 若|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强。
D(√) 由题知2.8 = 0.3m - m，解得m = -4。
故选ACD。

10. 【2026届佛山市S6高质量发展联盟高三联考】设函数$ f(x) = \frac{1}{2}\cos 2\omega x - \sqrt{3}\sin \omega x\cos \omega x(\omega ＞ 0) $，则下列结论正确的是

A.$ \forall \omega \in (0,1) $，$ f(x) $在$ [-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}] $上单调递减
B.若$ \omega = 1 $且$ |f(x_1) - f(x_2)| = 2 $，则$ |x_1 - x_2|_{\min} = \pi $
C.若$ |f(x)| = 1 $在$ [0,\pi] $上有且仅有2个不同的解，则$ \omega $的取值范围为$ [\frac{5}{6},\frac{4}{3}) $
D.存在$ \omega \in (1,2) $，使得$ f(x) $的图象向右平移$ \frac{\pi}{6} $个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数

答案：
10. 二倍角公式+两角差的正弦公式+三角函数的图象与性质
题目：由题意知，函数f(x) = (1/2)cos 2ωx - (√3/2)sin 2ωx = -sin(2ωx - π/6)。
A(√) ∀ω ∈ (0, 1)，当x ∈ [-π/6, π/4]时，2ωx - π/6 ∈ [-(2ω + 1)π/6, ωπ/2 - π/6] ⊆ [-π/2, π/2]，而函数y = sin x在[-π/2, π/2]上单调递增，因此f(x)在[-π/6, π/4]上单调递减。
B(×) 当ω = 1时，f(x) = -sin(2x - π/6)，其最小正周期为π，且f(x)min = -1，f(x)max = 1，由|f(x₁) - f(x₂)| = 2，得|x₁ - x₂|min = π/2。
C(√) 由x ∈ [0, π]，得2ωx - π/6 ∈ [-π/6, 2ωπ - π/6]，作出函数y = sin x的大致图象，由|f(x)| = 1在[0, π]上有且仅有2个不同的解，得(3π/2) ≤ 2ωπ - π/6 ＜ (5π/2)，解得5/6 ≤ ω ＜ 4/3。
D(×) 将f(x)的图象向右平移π/6个单位长度后得到的图象对应的函数g(x) = -sin[2ω(x - π/6) - π/6] = -sin(2ωx - ωπ/3 - π/6)，若g(x)为奇函数，则ωπ/3 + π/6 = kπ，k ∈ Z，而当ω ∈ (1, 2)时，ωπ/3 + π/6 ∈ (π/2, 5π/6)，故g(x)不可能是奇函数。
故选AC。

11. 【德州市2026届高三开学考试】已知双曲线$ C:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $的左、右焦点分别为$ F_1 $，$ F_2 $，过点$ F_2 $的直线$ l $与$ C $在第一、四象限的交点分别为$ A $，$ B $，与$ y $轴的交点为$ D $，$ |AF_2| = |DF_2| = \frac{7}{4}|F_1F_2| $，则

A.直线$ AF_2 $的斜率为$ \frac{3\sqrt{5}}{2} $
B.$ C $的离心率为2
C.$ D $到$ C $上最近点的距离为$ \frac{3\sqrt{5}}{2}a $
D.$ |AF_2|:|BF_2| = 11:3 $

答案：
11. 直线的斜率+双曲线的方程与性质+直线与双曲线的位置关系+点到直线的距离
题目：A(√) 记O为坐标原点，双曲线的焦距为2c，则F₂(c, 0)，|AF₂| = |DF₂| = (7/4)|F₁F₂| = (7/2)c，由|OF₂| = c，|DF₂| = (7/2)c，根据勾股定理得|OD| = √((7/2)c)² - c²) = (3√5/2)c，所以kAF₂ = tan ∠AF₂x = tan ∠OF₂D = |OD|/|OF₂| = ((3√5/2)c)/c = 3√5/2。
B(√) 如图，过点A作x轴的垂线，垂足为M，

由{|AF₂| = |DF₂|；∠AF₂M = ∠DF₂O；∠AMF₂ = ∠DOF₂}，可得△AF₂M ≌ △DF₂O，因此|MA| = |OD| = (3√5/2)c，|MF₂| = |OF₂| = c，|MO| = 2c，即A(2c, (3√5/2)c)，将A(2c, (3√5/2)c)代入双曲线方程可得(2c)²/a² - ((3√5/2)c)²/b² = 1，即4c²/a² - 45c²/4b² = 1，再将c² = a² + b²代入得(4a² + 4b²)/a² - (45a² + 45b²)/4b² = 1，即4 + 4b²/a² - 45a²/4b² - 45/4 = 1，得b = √3a，所以C的离心率为c/a = √(c²/a²) = √((a² + b²)/a²) = √(1 + b²/a²) = √(1 + 3) = 2。
C(×) 由|OD| = (3√5/2)c可知D(0, -(3√5/2)c)，易知C的渐近线方程为y = ±(b/a)x = ±√3x，则点D到C的渐近线的距离为d = ((3√5/2)c)/√(3 + 1) = (3√5c/4) = (3√5/4)√(a² + b²) = (3√5/4)√(a² + 3a²) = (3√5/2)a，所以点D到C上最近点的距离大于(3√5/2)a。
D(√) 由b = √3a得c = √(a² + b²) = √(a² + 3a²) = 2a，且C的方程可转化为3x² - y² = 3a²，易知F₂(2a, 0)，A(4a, 3√5a)，得l: y = (3√5/2)(x - 2a)，将l: y = (3√5/2)(x - 2a)与C: 3x² - y² = 3a²联立并消去y得11x² - 60ax + 64a² = 0，记B(x₁, y₁)，则x₁ · 4a = 64a²/11，解得x₁ = 16a/11 = 8c/11，所以|AF₂|/|BF₂| = (2c - c)/(c - 8c/11) = 11/3。
故选ABD。