《2026年高考领航卷数学》

18. （17分）
已知椭圆$ \Gamma : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a ＞ b ＞ 0 ) $的焦距为2，点$ A ( 0, 2 ) $在椭圆$ \Gamma $上。
(1) 求椭圆$ \Gamma $的方程；
(2) 若$ P ( x, y ) $为椭圆$ \Gamma $上的动点，求$ x + y $的取值范围；
(3) 若点$ M $在椭圆$ \Gamma $上，点$ N $在直线$ y = 2 \sqrt { 5 } $上，且$ O M \perp O N $（$ O $为坐标原点），判断直线$ M N $与圆$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = b ^ { 2 } $的位置关系，并证明你的结论。

答案： 18.椭圆的方程与几何性质+直线与椭圆、圆的位置关系
解：
(1)第一步：利用已知条件求出b,c 由题意知，$b = 2$，$c = 1$，(提示:椭圆的焦距为2c,并非c)(2分)
第二步：利用椭圆中$a^2 = b^2 + c^2$求出$a^2$ 所以$a^2 = 5$，(提示:椭圆中$a^2 = b^2 + c^2$)(3分)
第三步：写出椭圆的方程 故椭圆T的方程为$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$。(4分)
评分标准 正确求解b，c各给1分。
(2)解法一 第一步：将取值范围问题转化为直线与椭圆有公共点问题 令$x + y = t$，则直线$x + y = t$与椭圆T有公共点，(5分)
第二步：联立方程，结合根的判别式求$x + y$的取值范围 由$\begin{cases}y = -x + t \\ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1\end{cases}$得$9x^2 - 10tx + 5t^2 - 20 = 0$，则$\Delta = 100t^2 - 36(5t^2 - 20) = 80(9 - t^2)$，由$\Delta \geq 0$得$-3 \leq t \leq 3$，故$x + y$的取值范围为$[-3,3]$。(8分)
解法二 因为$P(x,y)$为椭圆T上的动点，所以不妨令$x = \sqrt{5}\cos\alpha$，$y = 2\sin\alpha$，$\alpha \in [0,2\pi)$，(5分)则$x + y = \sqrt{5}\cos\alpha + 2\sin\alpha = 3\sin(\alpha + \beta)$，其中$\tan\beta = \frac{\sqrt{5}}{2}$，故$x + y$的取值范围为$[-3,3]$。(8分)
评分标准 ①正确得到$9x^2 - 10tx + 5t^2 - 20 = 0$给1分，正确求出$\Delta$再给1分；②正确得到$x + y$的取值范围再给1分。
(3)第一步：设点O到直线MN的距离为h，得$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{|OM|^2} + \frac{1}{|ON|^2}$ 设点O到直线MN的距离为h，则$\frac{1}{2}|MN| · h = \frac{1}{2}|OM| · |ON|$，(三角形面积公式的应用)(9分)所以$\frac{1}{h^2} = \frac{|MN|^2}{|OM|^2|ON|^2} = \frac{|OM|^2 + |ON|^2}{|OM|^2|ON|^2} = \frac{1}{|OM|^2} + \frac{1}{|ON|^2}$。(由于要用两点间的距离公式求解线段长，所以这里使用平方，能简化运算)(10分)
第二步：当直线OM的斜率为0时，得到直线MN与圆相切 由题可知直线OM的斜率存在，当直线OM的斜率为0时，(求解与直线有关的圆锥曲线问题时，一定要先考虑直线的斜率是否存在，若存在，还需考虑是否为0，将特殊情况下得到的结果与一般情况下得到的结果综合在一起，才能得出最终结论)易得$|OM| = \sqrt{5}$，$|ON| = 2\sqrt{5}$，所以$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{|OM|^2} + \frac{1}{|ON|^2} = \frac{1}{4}$，故$h = 2$，(11分)此时直线MN与圆$x^2 + y^2 = 4$相切。(利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断直线与圆的位置关系)(12分)
解法一 第三步：当直线OM的斜率存在且不为0时，设直线OM，ON的方程 当直线OM的斜率存在且不为0时，设直线OM的方程为$y = kx(k \neq 0)$，则直线ON的方程为$y = -\frac{1}{k}x$。
第四步：分别联立方程，求得$\frac{1}{|OM|^2}$，$\frac{1}{|ON|^2}$ 由$\begin{cases}y = kx \\ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1\end{cases}$得$(4 + 5k^2)x^2 - 20 = 0$，所以$x^2 = \frac{20}{5k^2 + 4}$，从而$\frac{1}{|OM|^2} = \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2 + k^2x^2} = \frac{5k^2 + 4}{20k^2 + 20}$。(13分)由$\begin{cases}y = -\frac{1}{k}x \\ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1\end{cases}$得$(4k^2 + 5)x^2 - 20k^2 = 0$，所以$x^2 = \frac{20k^2}{4k^2 + 5}$，从而$\frac{1}{|ON|^2} = \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{k^2}x^2} = \frac{1}{20k^2 + 20}$。(14分)
第五步：得到h的值，判断直线MN与圆的位置关系 所以$\frac{1}{|OM|^2} + \frac{1}{|ON|^2} = \frac{5k^2 + 4}{20k^2 + 20} + \frac{1}{20k^2 + 20} = \frac{1}{4}$，故$h = 2$，(15分)此时直线MN与圆$x^2 + y^2 = 4$相切。(16分)
解法二 第三步：当直线OM的斜率存在且不为0时，设$M(\sqrt{5}\cos\theta,2\sin\theta)$，求出点N的坐标 当直线OM的斜率存在且不为0时，设$M(\sqrt{5}\cos\theta,2\sin\theta)$($\theta \in (0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi) \cup (\pi,\frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2},2\pi)$)，则直线OM的斜率为$\frac{2\sin\theta}{\sqrt{5}\cos\theta}$，故直线ON的方程为$y = -\frac{\sqrt{5}\cos\theta}{2\sin\theta}x$，由$\begin{cases}y = -\frac{\sqrt{5}\cos\theta}{2\sin\theta}x \\ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1\end{cases}$得$N(-4\tan\theta,2\sqrt{5})$，(13分)
第四步：求得$\frac{1}{|OM|^2}$，$\frac{1}{|ON|^2}$ 从而$\frac{1}{|OM|^2} = \frac{1}{5\cos^2\theta + 4\sin^2\theta} = \frac{1}{4 + \cos^2\theta}$，$\frac{1}{|ON|^2} = \frac{1}{16\tan^2\theta + 20} = \frac{\cos^2\theta}{4(4\sin^2\theta + 5\cos^2\theta)} = \frac{\cos^2\theta}{4(4 + \cos^2\theta)}$，(14分)
第五步：得到h的值，判断直线MN与圆的位置关系 所以$\frac{1}{|OM|^2} + \frac{1}{|ON|^2} = \frac{1}{4 + \cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{4(4 + \cos^2\theta)} = \frac{1}{4}$，故$h = 2$，(15分)此时直线MN与圆$x^2 + y^2 = 4$相切。(16分)
第六步：得到结论 综上所述，直线MN与圆$x^2 + y^2 = b^2$相切。(17分)
评分标准 ①没有讨论直线OM的斜率为0的情况扣2分；②最后不总结结论扣1分。