《2026年高考领航卷数学》

1. 已知集合$ M = \{ 0,1,2,4,5,7 \} $，$ N = \{ - 1,0,1,3,4,6 \} $，则$ M \cap N $的真子集的个数为

A.3
B.4
C.7
D.8

答案： 1.C 集合的交运算+集合真子集的个数 由题可得$ M\cap N=\{0,1,4\} $,因此$ M\cap N $的真子集的个数为$ 2^3 - 1 = 7 $,故选C。
结论拓展 若集合$ A $中有$ n(n\in \mathbf{N}^*) $个元素,则集合$ A $有$ 2^n $个子集,有$ 2^n - 1 $个真子集,有$ 2^n - 2 $个非空真子集。

2. 已知向量$ \boldsymbol { a } = ( m, 2 ) $，$ \boldsymbol { b } = ( 1, m - 1 ) $，若$ ( \boldsymbol { a } + 2 \boldsymbol { b } ) // ( 3 \boldsymbol { a } - 4 \boldsymbol { b } ) $，则实数$ m $的值为

A.$ \frac { 2 } { 3 } $
B.2
C.1或$-2$
D.2或$-1$

答案： 2.D 向量的坐标运算+向量平行 解法一 由题可得$ \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} = (m + 2, 2m) $,$ 3\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b} = (3m - 4, 10 - 4m) $,因为$ (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) // (3\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b}) $,所以$ (m + 2)(10 - 4m) = 2m(3m - 4) $,整理得$ m^2 - m - 2 = 0 $,解得$ m = 2 $或$ m = -1 $。故选D。
解法二 因为$ (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) // (3\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b}) $,所以存在实数$ \lambda $,使得$ \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} = \lambda(3\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b}) $,于是$ (3\lambda - 1)\boldsymbol{a} = (4\lambda + 2)\boldsymbol{b} $,因此必有$ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $,所以$ m(m - 1) = 2 $,即$ m^2 - m - 2 = 0 $,解得$ m = 2 $或$ m = -1 $。故选D。

3. 某市为弘扬科学精神,激励青少年投身科技事业,特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动。活动期间,需将$ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示,且要求$ A $与$ B $的画像不相邻,$ E $的画像只能排在两端,则满足条件的排法种数为

A.16
B.20
C.24
D.26

答案： 3.C 排列与组合 先排$ C,D $的画像,共有$ \mathrm{A}_2^2 = 2 $种排法。因为$ A $与$ B $的画像不相邻,所以在$ C,D $的画像形成的3个空中选2个排$ A,B $的画像,共有$ \mathrm{A}_3^2 = 6 $种排法。$ E $的画像只能排在两端,所以共有2种排法。根据分步乘法计数原理可得满足条件的排法种数为$ 2 × 6 × 2 = 24 $,故选C。

4. 一名职业篮球运动员在某8场比赛中,三分球命中率分别为0.34，0.27，0.36，0.42，0.23，0.39，0.43，0.38，若这组数据的60%分位数为$ p $，且随机变量$ \xi \sim B ( 20, p ) $，则$ E \xi = $

A.7.6
B.7.4
C.7.2
D.7

答案： 4.A 百分位数+二项分布+期望 将这组数据按从小到大的顺序排列为$ 0.23,0.27,0.34,0.36,0.38,0.39,0.42,0.43 $,(点拨:计算百分位数时,需将数据按从小到大的顺序排列)
由于$ 8 × 60\% = 4.8 $,所以这组数据的60%分位数$ p = 0.38 $,所以$ \xi \sim B(20, 0.38) $,所以$ E\xi = 20 × 0.38 = 7.6 $,故选A。

5. 已知函数$ f ( x ) $的定义域为$ \mathbf { R } $，若$ g ( x ) = f ( x ) - f ( - x ) $，则$ g ( x ) $的解析式不可能是

A.$ g ( x ) = 2 x $
B.$ g ( x ) = - x ^ { 3 } $
C.$ g ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $
D.$ g ( x ) = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } { \mathrm { e } ^ { x } + 1 } $

答案： 5.C 函数的奇偶性 因为$ g(x) = f(x) - f(-x) $,所以$ g(-x) = f(-x) - f(x) = -g(x) $,又$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $,所以$ g(x) $为定义在$ \mathbf{R} $上的奇函数,显然$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 $为偶函数,不符合题意,故选C。(点拨:对于选项A,可取$ f(x) = x $;对于选项B,可取$ f(x) = -\frac{1}{2}x^3 $;对于选项D,可取$ f(x) = \frac{e^x - 1}{2(e^x + 1)} $)

6. 在$ \triangle A B C $中，角$ A $，$ B $，$ C $所对的边分别为$ a $，$ b $，$ c $，若$ a = \sqrt { 2 } $，$ b = \sqrt { 6 } $，$ \cos C = c \sin A $，则$ \triangle A B C $的面积为

A.$ \sqrt { 6 } $
B.$ 2 \sqrt { 3 } $
C.$ \sqrt { 2 } $
D.1

答案： 6.D 正弦定理+同角三角函数的基本关系+三角形的面积公式
思维导引 $ \cos C = c\sin A \xrightarrow{正弦定理} \cos C = a\sin C $
$ a = \sqrt{2} \xrightarrow{} \cos C = \sqrt{2}\sin C \xrightarrow{\sin^2 C + \cos^2 C = 1} \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3} $
$ \xrightarrow{三角形的面积公式} \triangle ABC $的面积
由正弦定理得$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} $,即$ c\sin A = a\sin C $,又$ \cos C = c\sin A $,所以$ \cos C = a\sin C $,(关键:利用正弦定理转化等式)
因为$ a = \sqrt{2} $,所以$ \cos C = \sqrt{2}\sin C $,结合$ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 $,可得$ \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3} $,所以$ \triangle ABC $的面积$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 $,故选D。