《2026年高考领航卷数学》

18. (17分)
已知集合 $ M_1 = \{1,2,3,·s,n\},M_2 = \{1,2,3,·s,n,n + 1\}(n \in \mathbf{N}^*) $。
(1) 若 $ n = 8 $,
(i) 从集合 $ M_1 $ 中任取 3 个不同的数,记这 3 个数是连续的正整数为事件 $ M $,求 $ P(M) $;
(ii) $ a_1 $ 是从 $ M_1 $ 中随机抽取 3 个不同的数进行排列得到的最大的三位数,$ a_2 $ 是从 $ M_2 $ 中随机抽取 3 个不同的数进行排列得到的最大的三位数,求 $ a_1 ＜ a_2 $ 的概率。
(2) 从 $ M_2 $ 中随机抽取一个数记为 $ X $,再从 $ X,X + 1,·s,n + 1 $ 中随机抽取一个数记为 $ Y $,求 $ Y $ 的数学期望 $ E(Y) $。

答案： 18.条件概率+全概率公式+离散型随机变量的期望
解:
(1)(i)从8个不同的数中任取3个不同的数,有$C_8^3$种取法,
这3个数是连续的正整数有6种不同的取法,(提示:这6种不同的取法分别为(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),(5,6,7),(6,7,8))
所以$P(M)=\frac{6}{C_8^3}=\frac{3}{28}$。 (2分)
评分标准 列式正确给1分,结果正确再给1分。
(ii)由题意知$a_1 ＜ a_2$的情况可分为两类:$a_2$中有9时$a_1 ＜ a_2$和$a_2$中没有9时$a_1 ＜ a_2$。
设$a_2$中有9为事件A,$a_2$中没有9为事件$\overline{A}$,$a_1 ＜ a_2$为事件$B_1$,$a_1 = a_2$为事件$B_2$,$a_2 ＜ a_1$为事件$B_3$。
由题意可得$P(A)=\frac{C_8^2}{C_9^3}=\frac{1}{3}$,$P(\overline{A}) = 1 - P(A)=1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 (4分)
若$a_2$中有9,则$P(B_1|A)=1$。 (5分)
若$a_2$中没有9,则$P(B_2|\overline{A})=\frac{C_6^2}{C_8^3}=\frac{1}{56}$,
此时$P(B_1|\overline{A}) = \frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{56})=\frac{55}{112}$。 (7分)
所以由全概率公式得$P(B_1)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{55}{112}=\frac{37}{56}$。(注意:直接找$a_1 ＜ a_2$的情况种数太多,容易出错,利用全概率公式求解更快捷) (9分)
评分标准 由全概率公式求最终结果时,列式正确给1分,结果正确给1分。
(2)第一步:求出$P(X = k)$的表达式
依题意得$P(X = k)=\frac{1}{n + 1}$,$k = 1,2,3,·s,n + 1$。 (10分)
第二步:利用全概率公式求出Y对应取值的概率
易知Y的所有可能取值为1,2,·s,n,n + 1,
由全概率公式可知,
$P(Y = 1)=P(X = 1)P(Y = 1|X = 1)=\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{n + 1}$;
$P(Y = 2)=P(X = 1)P(Y = 2|X = 1)+P(X = 2)P(Y = 2|X = 2)=\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{n}=\frac{1}{n + 1}×(\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n})$;
$·s·s$
$P(Y = n)=P(X = 1)P(Y = n|X = 1)+P(X = 2)P(Y = n|X = 2)+·s+P(X = n)P(Y = n|X = n)=\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{n}+·s+\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{2}=\frac{1}{n + 1}×(\frac{1}{2}+·s+\frac{1}{n - 1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n + 1})$;
$P(Y = n + 1)=P(X = 1)P(Y = n + 1|X = 1)+P(X = 2)P(Y = n + 1|X = 2)+·s+P(X = n + 1)P(Y = n + 1|X = n + 1)=\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{n}+·s+\frac{1}{n + 1}×1=\frac{1}{n + 1}×(1+·s+\frac{1}{n - 1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n + 1})$。 (14分)
第三步:利用数学期望公式、数列求和求解$E(Y)$
所以$E(Y)=1× P(Y = 1)+2× P(Y = 2)+·s+n× P(Y = n)+(n + 1)× P(Y = n + 1)=\frac{1}{n + 1}[1×\frac{1}{n + 1}+2×(\frac{1}{n}+\frac{1}{n + 1})+·s+n×(\frac{1}{2}+·s+\frac{1}{n - 1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n + 1})+(n + 1)×(1+·s+\frac{1}{n - 1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n + 1})]$
$=\frac{1}{n + 1}[(\frac{n + 2}{2}+\frac{n + 3}{2}+·s+\frac{2n + 1}{2}+\frac{2n + 2}{2})]=\frac{1}{n + 1}×\frac{1}{2}×(n + 1)(\frac{n + 2 + 2n + 2}{2})=\frac{3n + 4}{4}$。 (17分)
评分标准 正确写出数学期望的计算公式给1分,代入数据整理得到结果给2分。
结论拓展 对于复杂事件的概率,可以按照某种标准,将一个复杂事件表示为多个互斥事件的“并”,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。一般地,设$A_1,A_2,·s,A_n$是一组两两互斥的事件,$A_1\cup A_2\cup·s\cup A_n=\Omega$,且$P(A_i)＞0$,$i = 1,2,·s,n$,则对任意的事件$B\subseteq\Omega$,有$P(B)=\sum_{i = 1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$。