《2026年高考领航卷数学》

12. 【郑州外国语学校2026届高三调研】$ (x + y)(x - y)^6 $的展开式中$ x^3y^4 $的系数是______。（用数字作答）

答案： 12. 二项式定理
题目：(x - y)⁶的展开式的通项为Tr + 1 = C₆ʳ x⁶⁻ʳ(-y)ʳ，故(x + y)(x - y)⁶的展开式中含x³y⁴的项为x · C₆⁴ x²(-y)⁴ + y · C₆³ x³(-y)³ = -5x³y⁴，故x³y⁴的系数为-5。

13. 【苏州市2026届高三期初阳光调研】函数$ f(x) = \lg(2x) · \lg(5x) - \lg 2 · \lg 5 $的最小值为______。

答案： 13. 对数运算+二次函数的性质
题目：由题意可知，f(x) = (lg 2 + lg x)(lg 5 + lg x) - lg 2lg 5 = (lg x)² + lg x，且x ＞ 0，令t = lg x，则t ∈ R，令g(t) = t² + t = (t + 1/2)² - 1/4，故当t = -1/2时，g(t)取得最小值，即当x = 1/√10时，f(x)取得最小值，且f(x)min = -1/4。

14. 【黄冈市2026届高三9月调研】已知$ \triangle ABC $的内角$ A $，$ B $，$ C $的对边分别为$ a $，$ b $，$ c $，其内切圆半径$ r = 1 $，$ \cos C = \frac{4}{5} $，则边长$ c $的最小值为______。

答案： 14. 两角和的正切公式+同角三角函数的基本关系+诱导公式+二倍角公式+基本不等式+余弦定理
解法一：由C ∈ (0, π)，得C/2 ∈ (0, π/2)，则tan(C/2) ＞ 0，同理tan(B/2) ＞ 0，tan(A/2) ＞ 0，而cos C = cos²(C/2) - sin²(C/2) = (cos²(C/2) - sin²(C/2))/(cos²(C/2) + sin²(C/2)) = (1 - tan²(C/2))/(1 + tan²(C/2)) = 4/5，得tan(C/2) = 1/3，则tan((A/2) + (B/2)) = (tan(A/2) + tan(B/2))/(1 - tan(A/2)tan(B/2)) = tan((π - C)/2) = 1/tan(C/2) = 3，则tan(A/2) + tan(B/2) = 3(1 - tan(A/2)tan(B/2)) ≥ 2√(tan(A/2)tan(B/2))，得√(tan(A/2)tan(B/2)) ≤ (√10 - 1)/3，当且仅当A = B时等号成立，所以0 ＜ tan(A/2)tan(B/2) ≤ (11 - 2√10)/9，设△ABC的内切圆与AB边相切于点D，则c = AD + BD = r/tan(A/2) + r/tan(B/2) = (tan(A/2) + tan(B/2))/(tan(A/2) · tan(B/2)) = 3(1 - tan(A/2) · tan(B/2))/(tan(A/2) · tan(B/2)) = 3/(tan(A/2) · tan(B/2)) - 3 ≥ (2 + 2√10)/3，则边长c的最小值为(2 + 2√10)/3。
解法二：由cos C = 4/5，得sin C = √(1 - cos²C) = 3/5，由S△ABC = (1/2)r(a + b + c) = (1/2)ab sin C，得a + b + c = (3/5)ab ①，由余弦定理得cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = ((a + b + c)(a + b - c) - 2ab)/(2ab) = ((3/5)ab(a + b - c) - 2ab)/(2ab) = ((3/5)(a + b - c) - 2)/2 = 4/5，则a + b - c = 6 ②，显然a + b ＞ 6。由① + ②整理得a + b = 3 + (3/10)ab ≤ 3 + (3/10) × ((a + b)²/4)，得a + b ≥ (20 + 2√10)/3，当且仅当a = b = (10 + √10)/3时等号成立，则c = a + b - 6 ≥ (2 + 2√10)/3，则边长c的最小值为(2 + 2√10)/3。

15. (13分)
【2026届广东省高三“八校联盟”质检(一)】已知数列$ \{ a_n \} $的前$ n $项和为$ S_n $，满足$ a_1 = \frac{1}{2} $，$ n^2a_n = S_n $。
(1) 求数列$ \{ a_n \} $的通项公式；
(2) 若$ b_n = a_{n + 1} $，且$ \{ b_n \} $的前$ n $项和为$ T_n $，求证：$ T_n ＜ \frac{1}{2} $。

答案： 15. 数列的递推关系+累乘法+裂项相消法求和
题目：解：
(1) 由n²aₙ = Sₙ，得(n - 1)²aₙ₋₁ = Sₙ₋₁(n ≥ 2)，当n ≥ 2时，两式相减得n²aₙ - (n - 1)²aₙ₋₁ = aₙ，即(n² - 1)aₙ = (n - 1)²aₙ₋₁，得(n + 1)aₙ = (n - 1)aₙ₋₁，则aₙ/aₙ₋₁ = (n - 1)/(n + 1)。
故aₙ = (aₙ/aₙ₋₁) × (aₙ₋₁/aₙ₋₂) × … × (a₃/a₂) × (a₂/a₁) × a₁ = ((n - 1)/(n + 1)) × ((n - 2)/n) × … × (2/4) × (1/3) × (1/2) = 1/(n(n + 1))(n ≥ 2)。
上式对n = 1仍成立，所以aₙ = 1/(n(n + 1))。
(2) 因为bₙ = aₙ₊₁ = 1/((n + 1)(n + 2)) = 1/(n + 1) - 1/(n + 2)，所以Tₙ = (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/(n + 1) - 1/(n + 2)) = 1/2 - 1/(n + 2) ＜ 1/2。