《2026年高考领航卷数学》

17. (15分)
【唐山市2026届高三摸底】在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$。已知$\sin A=\sin\frac{B + C}{2}$,$c = 5$,$\triangle ABC$的面积为$10\sqrt{3}$。
(1)求$a,b$。
(2)$D$为边$BC$上一点,
(i)若$AD$是$\angle BAC$的平分线,求线段$AD$的长;
(ii)若$CD = 2BD$,求$\tan\angle BAD$。

答案： 17. 二倍角公式+诱导公式+三角形的面积+正、余弦定理
(1) 因为 $\sin A = \sin\frac{B + C}{2}$，所以 $2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} = \sin\frac{\pi - A}{2} = \cos\frac{A}{2}$（二倍角公式及诱导公式的应用）。因为 $0\lt\frac{A}{2}\lt\frac{\pi}{2}$，所以 $\cos\frac{A}{2}\neq0$，所以 $\sin\frac{A}{2} = \frac{1}{2}$，可得 $A = \frac{\pi}{3}$。
因为 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc\sin A = 10\sqrt{3}$，所以 $\frac{1}{2}b×5×\frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$，解得 $b = 8$。由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，得 $a^2 = 64 + 25 - 2×8×5×\frac{1}{2} = 49$，得 $a = 7$。
(2) (i) 因为 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}× AB× AD×\sin\angle BAD + \frac{1}{2}× AC× AD×\sin\angle CAD = 10\sqrt{3}$，所以 $\frac{5}{2}AD\sin\frac{\pi}{6} + 4AD\sin\frac{\pi}{6} = 10\sqrt{3}$，解得 $AD = \frac{40\sqrt{3}}{13}$。
(ii) 设 $\angle BAD = \theta$，则 $\angle CAD = \frac{\pi}{3} - \theta$，$0\lt\theta\lt\frac{\pi}{3}$。在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理得 $\frac{AB}{\sin\angle ADB} = \frac{BD}{\sin\theta}$；在 $\triangle ACD$ 中，由正弦定理得 $\frac{AC}{\sin\angle ADC} = \frac{CD}{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}$。由 $CD = 2BD$，$\sin\angle ADB = \sin\angle ADC$，得 $4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) = 5\sin\theta$，即 $2\sqrt{3}\cos\theta - 2\sin\theta = 5\sin\theta$（两角差的正弦公式的应用），解得 $\tan\theta = \frac{2\sqrt{3}}{7}$，即 $\tan\angle BAD = \frac{2\sqrt{3}}{7}$。