《2026年高考领航卷数学》

18. (17分)
【重庆八中2026届高三9月月考】椭圆$ E:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0) $的左、右焦点分别为$ F_1 $，$ F_2 $，离心率为$ \frac{\sqrt{2}}{4} $，点$ M $，$ N $为椭圆$ E $上的两个不同动点，$ \triangle F_1MF_2 $面积的最大值为$ \sqrt{7} $。
(1) 求椭圆$ E $的标准方程。
(2) 设直线$ MF_1 $的斜率为$ k_1 $，直线$ NF_1 $的斜率为$ k_2 $。
(i) 若$ M $，$ N $在$ x $轴上方，且$ k_1 + k_2 = 0 $，求证：直线$ MN $过定点。
(ii) 点$ M $，$ N $在运动过程中，是否存在某些位置使得$ MF_1 \perp NF_1 $且$ MF_2 \perp NF_2 $？若存在，求出此时点$ M $的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 18. 椭圆的方程与性质+直线与椭圆的位置关系
题目：解：
(1) 由题意可得c/a = √2/4，(1/2) × 2c × b = √7，a² = b² + c²，得a = 2√2，b = √7，c = 1，故椭圆E的标准方程为x²/8 + y²/7 = 1。
(2)(i) 第一步：设出直线MN的方程，与E的方程联立，得到根与系数的关系。由题可知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y = kx + m，M(x₁, y₁)，N(x₂, y₂)，x₁ ≠ -1，x₂ ≠ -1，由{x²/8 + y²/7 = 1；y = kx + m}得(7 + 8k²)x² + 16kmx + 8m² - 56 = 0，则Δ = (16km)² - 4(7 + 8k²)(8m² - 56) = 224(7 - m² + 8k²) ＞ 0，x₁ + x₂ = -16km/(7 + 8k²)，x₁x₂ = (8m² - 56)/(7 + 8k²)。
第二步：结合斜率之间的关系得到m = 8k，即可得解。由
(1)知F₁(-1, 0)，因为k₁ + k₂ = 0，所以y₁/(x₁ + 1) + y₂/(x₂ + 1) = 0，即y₁(x₂ + 1) + y₂(x₁ + 1) = 0，所以(kx₁ + m)(x₂ + 1) + (kx₂ + m)(x₁ + 1) = 0，整理得2kx₁x₂ + (k + m)(x₁ + x₂) + 2m = 0，所以(2k(8m² - 56))/(7 + 8k²) - (16km(k + m))/(7 + 8k²) + 2m = 0，整理得m = 8k，所以直线MN的方程为y = k(x + 8)，过定点(-8, 0)。
(ii) 第一步：设点M的坐标，写出直线MF₁，MF₂的斜率。设M(x₀, y₀)，显然x₀ ≠ ± 1，y₀ ≠ 0，则直线MF₁的斜率为y₀/(x₀ + 1)，直线MF₂的斜率为y₀/(x₀ - 1)。
第二步：利用直线间的垂直关系求出直线NF₁，NF₂的方程，并联立得到点N的坐标。因为MF₁ ⊥ NF₁，MF₂ ⊥ NF₂，所以直线NF₁的斜率为-(x₀ + 1)/y₀，直线NF₂的斜率为-(x₀ - 1)/y₀，所以直线NF₁的方程为y = -((x₀ + 1)/y₀)(x + 1) ①，直线NF₂的方程为y = -((x₀ - 1)/y₀)(x - 1) ②，由①②得x = -x₀，y = (x₀² - 1)/y₀，所以N(-x₀, (x₀² - 1)/y₀)。
第三步：寻求x₀，y₀之间的关系并得到点M的坐标。因为点N在椭圆E上，所以yN = ± yM，即(x₀² - 1)/y₀ = ± y₀，即x₀² - y₀² = 1或x₀² + y₀² = 1。因为点M在椭圆E上，所以x₀²/8 + y₀²/7 = 1，联立方程得{x₀² + y₀² = 1；x₀²/8 + y₀²/7 = 1}，无解，联立方程得{x₀² - y₀² = 1；x₀²/8 + y₀²/7 = 1}，解得x₀ = ± 8√15/15，y₀ = ± 7√15/15，故存在点M，N使得MF₁ ⊥ NF₁且MF₂ ⊥ NF₂，此时点M的坐标为(8√15/15, 7√15/15)，(8√15/15, -7√15/15)，(-8√15/15, 7√15/15)，(-8√15/15, -7√15/15)。