《2026年高考领航卷数学》

1. 若$\frac{z}{3 - i} = 1 + 3i$，则$z =$

A.$8i$
B.$6 + 8i$
C.$10i$
D.$6 + 10i$

答案： 1.B　复数的四则运算　因为$\frac{z}{3−i}=1 + 3i$,所以$z=(3 - i)(1 + 3i)=6 + 8i$,故选B。

2. 已知集合$A = \{x|1 ＜ x ＜ 5\}$，$B = \{y|y = \sqrt{x - 1},x \in A\}$，则$A \cup B =$

A.$(0,5)$
B.$(1,5)$
C.$(1,2)$
D.$(0, + \infty)$

答案： 2.A　集合的并运算　因为$A = \{x|1 ＜ x ＜ 5\}$,所以$B = \{y|y = \sqrt{x - 1},x\in A\} = \{y|0 ＜ y ＜ 2\}$,所以$A\cup B=(0,5)$,故选A。

3. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(b ＞ 0)$的两条渐近线的倾斜角均大于$\frac{\pi}{3}$，则$C$的焦距的取值范围是

A.$(4\sqrt{3}, + \infty)$
B.$(2\sqrt{3},8)$
C.$(4, + \infty)$
D.$(8, + \infty)$

答案： 3.D　双曲线的几何性质　因为$C$的两条渐近线的倾斜角均大于$\frac{\pi}{3}$,所以$\frac{b}{2}＞\tan\frac{\pi}{3}$,(点拨:直线的斜率为其倾斜角的正切值)
得$b ＞ 2\sqrt{3}$,所以$c = \sqrt{4 + b^{2}} ＞ 4$,所以$C$的焦距的取值范围是$(8,+\infty)$,(提示:注意求的是焦距$2c$的取值范围,不是半焦距$c$的取值范围)
故选D。

4. 已知平面向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}$均为单位向量，若$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$，则$|\overrightarrow{AD}| =$

A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{19}$
D.$5$

答案：
4.C　向量的线性运算+向量的模　解法一　由题意得$\triangle ABC$是正三角形,由$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$得$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$,所以$\vert\overrightarrow{AD}\vert = \sqrt{4\overrightarrow{AB}^{2}+12\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+9\overrightarrow{AC}^{2}}=\sqrt{4 + 6 + 9}=\sqrt{19}$,故选C。
解法二　由题意得$\triangle ABC$是正三角形,以$A$为坐标原点,$\overrightarrow{AB}$的方向为$x$轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则$A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。设$D(x,y)$,由$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$得$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$,故$(x,y)=(2,0)+(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})=(\frac{7}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$,所以$\begin{cases}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{cases}$,所以$\vert\overrightarrow{AD}\vert=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{19}$,故选C。

5. 若函数$f(x) = \sin \omega x(\omega ＞ 0)$图象的对称中心都是函数$g(x) = \sin 2x + \tan x$图象的对称中心，则$\omega$的值可能是

A.$3$
B.$4$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 5.C　三角函数的图象与性质　解法一　由题可得函数$g(x)$满足$g(-x)=-g(x)$,$g(\pi - x)=-g(x)$,且$g(x)$的最小正周期为$\pi$,所以$g(x)$的图象关于点$(\frac{k\pi}{2},0)(k\in\mathbf{Z})$对称。易得$f(x)$图象的对称中心为点$(\frac{n\pi}{\omega},0)(n\in\mathbf{Z})$,所以$\{x|x=\frac{n\pi}{\omega}\}\subseteq\{x|x=\frac{k\pi}{2}\}(n,k\in\mathbf{Z})$,结合选项可知选C。
解法二　当$\omega = 3$时,点$(\frac{\pi}{3},0)$是$f(x)$图象的对称中心,但不是$g(x)$图象的对称中心;当$\omega = 4$时,点$(\frac{\pi}{4},0)$是$f(x)$图象的对称中心,但不是$g(x)$图象的对称中心;当$\omega=\frac{4}{3}$时,点$(\frac{3\pi}{4},0)$是$f(x)$图象的对称中心,但不是$g(x)$图象的对称中心。故选C。
结论拓展 函数$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+B(A\neq0,\omega\neq0)$图象的对称中心为点$(x_{0},B)$,其中$\omega x_{0}+\varphi = k\pi$,$k\in\mathbf{Z}$。函数$g(x)=A\tan(\omega x+\varphi)+B(A\neq0,\omega\neq0)$图象的对称中心为点$(x_{0},B)$,其中$\omega x_{0}+\varphi=\frac{1}{2}k\pi$,$k\in\mathbf{Z}$。