《2026年高考领航卷数学》

19. (17分)
已知函数$ f(x) = e^{ax} - 1 - \frac{\ln(ex)}{x}(a ＞ 0) $。
(1) 讨论$ f(x) $在$ (1, + \infty) $上的单调性；
(2) 判断$ f(x) $的极值点个数；
(3) 若曲线$ y = f(x) $都不在$ x $轴的下方，且$ f(x) $的极小值点为$ x_{0} $，证明：$ \frac{1}{a + 1} ＜ x_{0} ＜ 2a\sin \frac{2}{3a} $。

答案：
(1) 对 $ f(x) = e^{ax} - 1 - \frac{\ln(ex)}{x} $ 求导，化简得 $ f'(x) = ae^{ax} + \frac{\ln x}{x^2} $。当 $ x \in (1, +\infty) $ 时，$ \ln x ＞ 0 $，$ ae^{ax} ＞ 0 $，故 $ f'(x) ＞ 0 $，因此 $ f(x) $ 在 $ (1, +\infty) $ 上单调递增。
(2) $ f(x) $ 的定义域为 $ (0, +\infty) $。分析 $ f'(x) = ae^{ax} + \frac{\ln x}{x^2} $：
在 $ (0, 1) $ 上，$ \ln x ＜ 0 $，$ \frac{\ln x}{x^2} ＜ 0 $，且 $ f'(x) $ 单调递增（$ f''(x) = a^2e^{ax} + \frac{1 - 2\ln x}{x^3} ＞ 0 $），$ \lim\limits_{x \to 0^+} f'(x) = -\infty $，$ f'(1) = ae^a ＞ 0 $，故存在唯一 $ x_0 \in (0, 1) $ 使 $ f'(x_0) = 0 $。
在 $ (1, +\infty) $ 上，$ f'(x) ＞ 0 $。
因此 $ f(x) $ 在 $ (0, x_0) $ 单调递减，在 $ (x_0, +\infty) $ 单调递增，有且仅有一个极值点（极小值点）。
(3) 因 $ f(x) \geq 0 $ 恒成立，$ x_0 $ 为极小值点，故 $ f(x_0) = 0 $ 且 $ f'(x_0) = 0 $。
证 $ x_0 ＞ \frac{1}{a+1} $：设 $ t = \frac{1}{a+1} $，则 $ f(t) = e^{1-t} - 1 - \frac{1 + \ln t}{t} $。由 $ e^{1-t} - 1 ＜ \frac{1 + \ln t}{t} $（构造函数可证），得 $ f(t) ＜ 0 $，又 $ f(x) $ 在 $ (x_0, +\infty) $ 递增，故 $ t ＜ x_0 $。
证 $ x_0 ＜ 2a\sin\frac{2}{3a} $：设 $ u = 2a\sin\frac{2}{3a} $，当 $ a \geq \ln 2 $ 时，$ u ＞ 1 $，$ f(u) ＞ f(1) = e^a - 2 \geq 0 $，又 $ f(x) $ 在 $ (x_0, +\infty) $ 递增，故 $ x_0 ＜ u $。
综上，$ \frac{1}{a+1} ＜ x_0 ＜ 2a\sin\frac{2}{3a} $。