《2026年高考领航卷数学》

16. (15分)
【山东省实验中学2026届高三8月模拟】无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向。某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障。在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表：

假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立。
(1) 从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；
(2) 从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设$ X $为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求$ X $的分布列和数学期望；
(3) 现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器，在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速，那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于$ \frac{1}{2} $？（结论不要求证明）

答案： 16. 古典概型+随机变量的分布列和数学期望
题目：解：
(1) 这80个路段中，传感器1判断正确的路段有40 + 15 = 55（个）。
设“传感器1对该路况判断正确”为事件A，则P(A) = 55/80 = 11/16。
(2) 这80个路段中共有60个有障碍的路段，这60个有障碍的路段中，传感器1判断正确的路段有40个，判断错误的路段有20个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有15个。
X的所有可能取值为0, 1, 2，
P(X = 0) = C₂₀¹ · C₁₅¹/(C₆₀¹ · C₆₀¹) = 1/12，
P(X = 1) = (C₄₀¹ · C₁₅¹ + C₂₀¹ · C₄₅¹)/(C₆₀¹ · C₆₀¹) = 5/12，
P(X = 2) = C₄₀¹ · C₁₅¹/(C₆₀¹ · C₆₀¹) = 1/2，
故X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| P | 1/12 | 5/12 | 1/2 |
数学期望E(X) = 0 × (1/12) + 1 × (5/12) + 2 × (1/2) = 17/12。
(3) 可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于1/2。
分析：共有20个无障碍的路段，传感器1判断正确的路段有15个，由频率估计概率，故在无障碍路段上，估计传感器1判断正确的概率为15/20 = 3/4。
传感器2判断正确的路段有15个，由频率估计概率，故在无障碍路段上，估计传感器2判断正确的概率为15/20 = 3/4。
若传感器3在无障碍路段上判断正确的概率为1，则小汽车在无障碍的道路上减速的概率为1 - (3/4) × (3/4) × 1 = 7/16 ＜ 1/2，故可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于1/2。