《2026年高考领航卷数学》

1. 若复数 $ z $ 满足 $ zi=3 + 4i $（$i$ 为虚数单位）,则 $ |z| = $

A.$ \sqrt{5} $
B.5
C.$ 2\sqrt{5} $
D.25

答案： 1.B 复数的四则运算+复数的模 通解 因为zi = 3 + 4i,所以z = $\frac{3 + 4i}{i}$ = $\frac{(3 + 4i)(-i)}{i(-i)}$ = 4 - 3i,所以|z| = $\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}$ = 5,故选B。
优解 由zi = 3 + 4i得|zi| = |z||i| = |z| = |3 + 4i| = 5,故选B。
结论拓展 |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|,|z| = |$\overline{z}$|,|$\frac{z₁}{z₂}$| = $\frac{|z₁|}{|z₂|}$,|z²| = |z|² = z·$\overline{z}$。

2. 已知全集 $ U = \{1,2,3,4,5\} $,集合 $ A = \{1,2\},B = \{2,3\} $,则 $ (\complement_U A) \cap (\complement_U B) = $

A.$ \{1,3,4,5\} $
B.$ \{2,3,5\} $
C.$ \{3,4,5\} $
D.$ \{4,5\} $

答案： 2.D 集合的交、补运算 解法一 由题意得$\complement_U$A = {3,4,5},$\complement_U$B = {1,4,5},所以($\complement_U$A)∩($\complement_U$B) = {4,5},故选D。
解法二 由题意知A∪B = {1,2,3},所以($\complement_U$A)∩($\complement_U$B) = $\complement_U$(A∪B) = {4,5},故选D。
结论拓展 ($\complement_U$A)∩($\complement_U$B) = $\complement_U$(A∪B),($\complement_U$A)∪($\complement_U$B) = $\complement_U$(A∩B)。

3. 已知样本数据 $ 6,5,x,7,9,8 $ 的极差为 4,则实数 $ x $ 的取值范围为

A.$ [5,9] $
B.$ \{5,9\} $
C.$ \{5,6,7,8,9\} $
D.$ \{4,9\} $

答案： 3.A 极差 将样本数据中除x之外的数按从小到大的顺序排列得5,6,7,8,9,最大数与最小数的差为4,恰好等于已知样本数据的极差,所以x是区间[5,9]上的任一实数,故选A。(易错:误认为x是正整数,从而错选C)

4. 已知双曲线 $ x^2 - a y^2 = a^2 $ 的实轴长为 6,则该双曲线的离心率 $ e = $

A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $
D.$ \frac{3\sqrt{3}}{2} $

答案： 4.C 双曲线的方程、几何性质 由题意知a ＞ 0,x² - ay² = a²可化为$\frac{x²}{a²}$ - $\frac{y²}{a}$ = 1,由双曲线的实轴长为6得2a = 6,(易错:误认为双曲线的实轴长是a,得到a = 6)
所以a = 3,所以双曲线的离心率e = $\sqrt{\frac{a² + a}{a²}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

5. 已知函数 $ f(x) = a + \frac{2}{2^{-x} - 1} $ 是定义域上的奇函数,则 $ f(a) = $

A.-3
B.$ -\frac{1}{3} $
C.3
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 5.A 函数的奇偶性+函数求值 解法一 由题意得f(x)的定义域为{x | x∈R且x≠0},因为函数f(x)是定义域上的奇函数,所以f(-x) + f(x) = a + $\frac{2}{2^{-x}-1}$ + a + $\frac{2}{2^{x}-1}$ = 2a + $\frac{2(1 - 2^{x})}{2^{x}-1}$ = 2a - 2 = 0,得a = 1,所以f(x) = 1 + $\frac{2}{2^{-x}-1}$,f
(1) = 1 + $\frac{2}{2^{-1}-1}$ = -3。故选A。
解法二 由题意得f(x)的定义域为{x | x∈R且x≠0},因为函数f(x)是定义域上的奇函数,所以f(-1) + f
(1) = a + $\frac{2}{2^{-1}-1}$ + a + $\frac{2}{2^{1}-1}$ = 2a - 2 = 0,得a = 1,所以f(-1) + f
(1) = $\frac{1}{2}$ - 1 = -3。

6. 若函数 $ f(x) = \cos x - a \sin x(a ＞ 0) $ 在 $ (-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}) $ 上单调递减,则 $ a $ 的最小值为

A.$ \frac{1}{2} $
B.1
C.$ \sqrt{2} $
D.2

答案： 6.B 三角函数的图象与性质+辅助角公式
思维导引 解法一 先利用辅助角公式将函数f(x)化简为“一角一函数”的形式,再根据余弦函数的单调性得到f(x)的单调递减区间,然后根据题意建立不等式组求φ的范围,进而得a的范围,即可得到a的最小值；解法二 对函数f(x)求导得到f'(x),然后根据题意将问题转化为不等式恒成立问题,最后结合正切函数的图象与性质即可求解。
解法一 f(x) = cosx - asinx = $\sqrt{a² + 1}$($\frac{1}{\sqrt{a² + 1}}$cosx - $\frac{a}{\sqrt{a² + 1}}$sinx) = $\sqrt{a² + 1}$cos(x + φ),其中tanφ = a,由x + φ∈[2kπ,2kπ + π],k∈Z,得x∈[2kπ - φ,2kπ + π - φ],k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[2kπ - φ,2kπ + π - φ],k∈Z。由题意知(-$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{4}$)⊆[2kπ - φ,2kπ + π - φ],k∈Z,(注意等号能否取到)
所以$\begin{cases}-\frac{\pi}{4}\geq2k\pi - \varphi\frac{\pi}{4}\leq2k\pi + \pi - \varphi\end{cases}$,k∈Z,
所以φ∈[2kπ + $\frac{\pi}{4}$,2kπ + $\frac{3\pi}{4}$],k∈Z,又a ＞ 0,所以tanφ = a≥1,(关键:熟练掌握正切函数的图象)
故a的最小值为1。
解法二 由题意知f'(x) = -sinx - acosx≤0在(-$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{4}$)上恒成立,即a≥ -tanx在(-$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{4}$)上恒成立。当x∈(-$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{4}$)时,tanx∈(-1,1),从而a≥1,故a的最小值为1。