《2026年高考领航卷数学》

16.（15分）
已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$\frac{b^{2}}{c} + c = 2b\cos A + a\cos B$。
（1）求$C$；
（2）若$C$的平分线与$AB$交于点$D$，且$CD = 2$，求$a + 4b$的最小值。

答案： 16.正弦定理+余弦定理+三角形的面积公式
解:
(1)解法一　第一步:利用余弦定理化简等式
由$\frac{b^{2}}{c}+c = 2b\cos A + a\cos B$得$b^{2}+c^{2}=2bc\cos A + a\cos B$,
由余弦定理得$a^{2}=a\cos B$,所以$a = c\cos B$。
第二步:利用正弦定理化边为角
由正弦定理得$\sin A=\sin C\cos B$,
所以$\sin(B + C)=\sin B\cos C+\sin C\cos B=\sin C\cos B$,(三角形内角和定理、诱导公式及两角和的正弦公式的应用)
得$\sin B\cos C = 0$。
第三步:求$C$
因为$0 ＜ B ＜ \pi$,所以$\sin B\neq0$,所以$\cos C = 0$,
又$0 ＜ C ＜ \pi$,所以$C=\frac{\pi}{2}$。
解法二　第一步:利用余弦定理化角为边
由$\frac{b^{2}}{c}+c = 2b\cos A + a\cos B$得$b^{2}+c^{2}=2bc\cos A + a\cos B$,
由余弦定理得$a^{2}=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}$。
第二步:利用勾股定理的逆定理求$C$
整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,所以$C=\frac{\pi}{2}$。
(2)第一步:利用面积公式建立等量关系
因为$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$,所以$\angle ACD=\angle BCD=\frac{\pi}{4}$,
又$S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABC}$,
所以$\frac{1}{2}×2× b×\sin\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}×2× a×\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}ab$。
第二步:化简等式,得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
整理得$a + b=\frac{\sqrt{2}}{2}ab$,所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
第三步:利用基本不等式求最值
故$a + 4b=\sqrt{2}(a + 4b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\sqrt{2}(5+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b})\geqslant\sqrt{2}(5 + 2\sqrt{\frac{4b}{a}·\frac{a}{b}})=9\sqrt{2}$,
当且仅当$a = 3\sqrt{2}$,$b=\frac{3\sqrt{2}}{2}$时取等号,
所以$a + 4b$的最小值为$9\sqrt{2}$。
方法技巧 解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”。在解三角形试题中求解最值是一种常见题型,解题的主要方法有两种:一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值;二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值。