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2026年高考领航卷数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2026年高考领航卷数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
19. （17分）
已知函数$ f ( x ) = m \sin x + \sin m x ( m \in \mathbf { R } ) $。
(1) 当$ m = 3 $时，求$ f ( x ) $在$ [ 0, \frac { \pi } { 2 } ] $上的最大值；
(2) 当$ m = 2 $时，解不等式$ f ( x ) ＞ 2 x + 2 \sin x $；
(3) 当$ m = 2 $时，不等式$ f ( x ) - a x \cos x - \sin x ＞ 0 $在$ ( \frac { \pi } { 6 }, \frac { 2 \pi } { 3 } ) $上恒成立，求整数$ a $的最大值。（参考数据：$ 1.414 ＜ \sqrt { 2 } ＜ 1.415 $，$ 1.732 ＜ \sqrt { 3 } ＜ 1.733 $，$ 3.141 ＜ \pi ＜ 3.142 $）
已知函数$ f ( x ) = m \sin x + \sin m x ( m \in \mathbf { R } ) $。
(1) 当$ m = 3 $时，求$ f ( x ) $在$ [ 0, \frac { \pi } { 2 } ] $上的最大值；
(2) 当$ m = 2 $时，解不等式$ f ( x ) ＞ 2 x + 2 \sin x $；
(3) 当$ m = 2 $时，不等式$ f ( x ) - a x \cos x - \sin x ＞ 0 $在$ ( \frac { \pi } { 6 }, \frac { 2 \pi } { 3 } ) $上恒成立，求整数$ a $的最大值。（参考数据：$ 1.414 ＜ \sqrt { 2 } ＜ 1.415 $，$ 1.732 ＜ \sqrt { 3 } ＜ 1.733 $，$ 3.141 ＜ \pi ＜ 3.142 $）
答案：
19.函数的最值+不等式恒成立+导数的应用
解：
(1)第一步：求导，并化简 当$m = 3$时，$f(x) = 3\sin x + \sin 3x$，$f'(x) = 3(\cos x + \cos 3x) = 3[\cos(2x - x) + \cos(2x + x)] = 6\cos 2x\cos x$。(另解：利用和差化积公式可得$f'(x) = 3(\cos x + \cos 3x) = 6\cos 2x\cos x$)(2分)
第二步：求函数的单调性 当$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$时，$\cos x \geq 0$，所以由$f'(x) ＞ 0$得$\cos x \neq 0$，且$\cos 2x ＞ 0$，即$0 \leq x ＜ \frac{\pi}{4}$，由$f'(x) ＜ 0$得$\cos x \neq 0$，且$\cos 2x ＜ 0$，即$\frac{\pi}{4} ＜ x ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{4})$上单调递增，在$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上单调递减。(4分)
第三步：求函数在区间上的最大值 故当$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$时，$f(x)_{\max} = f(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$，从而$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值为$2\sqrt{2}$。(5分)
(2)第一步：化简，得到要求解的不等式 当$m = 2$时，由$f(x) ＞ 2x + 2\sin x$得$\sin 2x ＞ 2x$。(6分)
第二步：构造函数，利用导数研究函数的单调性 令$g(x) = \sin 2x - 2x$，(构造函数)则$g'(x) = 2(\cos 2x - 1) \leq 0$在$\mathbf{R}$上恒成立，故$g(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，(7分)
第三步：利用函数的零点得到不等式的解集 又$g(0) = 0$，所以由$g(x) ＞ 0$得$x ＜ 0$，(结合函数的单调性及$g(0) = 0$求不等式的解集)从而不等式$f(x) ＞ 2x + 2\sin x$的解集为$(-\infty,0)$。(9分)
(3)第一步：构造函数，并取特值求出符合条件的a的大致取值范围 当$m = 2$时，由$f(x) - ax\cos x - \sin x ＞ 0$得$\sin x + \sin 2x - ax\cos x ＞ 0$，令$h(x) = \sin x + \sin 2x - ax\cos x$，则$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立。由$h(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - a × \frac{\pi}{4} × \frac{\sqrt{2}}{2} ＞ 0$得$a ＜ 4 + \frac{4\sqrt{2}}{\pi} \in (3,4)$，(提示：因为区间$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上常用的特殊角有$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{2}$，所以可用这些特殊角进行代入尝试，求解a的大致范围，利用$h(\frac{\pi}{3}) ＞ 0$也可得到$a ＜ \frac{6\sqrt{3}}{\pi} \in (3,4)$，利用$h(\frac{\pi}{2}) ＞ 0$得到式子$1 ＞ 0$，不能得到a的范围)又$a \in \mathbf{Z}$，故$a \leq 3$。(11分)
第二步：证明当$a = 3$时$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立 下面证明当$a = 3$时，$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立，(技巧：要求a的最大值，不妨从最大值开始验证)(12分)由$h(x) = \sin x + \sin 2x - 3x\cos x$，得$h'(x) = 3x\sin x + 2\cos 2x - 2\cos x = 3x\sin x + 4\cos^2 x - 2\cos x - 2$，由
(2)知当$x ＞ 0$时，$2x ＞ \sin 2x$，所以当$x ＞ 0$时，$x ＞ \sin x$，(注意利用已知结论)从而当$x \in (\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$时，$3x\sin x ＞ 3\sin^2 x$，故当$x \in (\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$时，$h'(x) ＞ 3\sin^2 x + 4\cos^2 x - 2\cos x - 2 = \cos^2 x - 2\cos x + 1 = (\cos x - 1)^2 ＞ 0$，所以$h(x)$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上单调递增，(15分)故$h(x) ＞ h(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 × \frac{\pi}{6} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\pi}{4} ＞ \frac{2 + 2 × 1.732 - 1.733 × 3.142}{4} ＞ 0$，故当$a = 3$时，$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立。(16分)
第三步：求得结果 综上所述，整数a的最大值为3。(17分)
解：
(1)第一步：求导，并化简 当$m = 3$时，$f(x) = 3\sin x + \sin 3x$，$f'(x) = 3(\cos x + \cos 3x) = 3[\cos(2x - x) + \cos(2x + x)] = 6\cos 2x\cos x$。(另解：利用和差化积公式可得$f'(x) = 3(\cos x + \cos 3x) = 6\cos 2x\cos x$)(2分)
第二步：求函数的单调性 当$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$时，$\cos x \geq 0$，所以由$f'(x) ＞ 0$得$\cos x \neq 0$，且$\cos 2x ＞ 0$，即$0 \leq x ＜ \frac{\pi}{4}$，由$f'(x) ＜ 0$得$\cos x \neq 0$，且$\cos 2x ＜ 0$，即$\frac{\pi}{4} ＜ x ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{4})$上单调递增，在$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上单调递减。(4分)
第三步：求函数在区间上的最大值 故当$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$时，$f(x)_{\max} = f(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$，从而$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值为$2\sqrt{2}$。(5分)
(2)第一步：化简，得到要求解的不等式 当$m = 2$时，由$f(x) ＞ 2x + 2\sin x$得$\sin 2x ＞ 2x$。(6分)
第二步：构造函数，利用导数研究函数的单调性 令$g(x) = \sin 2x - 2x$，(构造函数)则$g'(x) = 2(\cos 2x - 1) \leq 0$在$\mathbf{R}$上恒成立，故$g(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，(7分)
第三步：利用函数的零点得到不等式的解集 又$g(0) = 0$，所以由$g(x) ＞ 0$得$x ＜ 0$，(结合函数的单调性及$g(0) = 0$求不等式的解集)从而不等式$f(x) ＞ 2x + 2\sin x$的解集为$(-\infty,0)$。(9分)
(3)第一步：构造函数，并取特值求出符合条件的a的大致取值范围 当$m = 2$时，由$f(x) - ax\cos x - \sin x ＞ 0$得$\sin x + \sin 2x - ax\cos x ＞ 0$，令$h(x) = \sin x + \sin 2x - ax\cos x$，则$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立。由$h(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - a × \frac{\pi}{4} × \frac{\sqrt{2}}{2} ＞ 0$得$a ＜ 4 + \frac{4\sqrt{2}}{\pi} \in (3,4)$，(提示：因为区间$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上常用的特殊角有$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{2}$，所以可用这些特殊角进行代入尝试，求解a的大致范围，利用$h(\frac{\pi}{3}) ＞ 0$也可得到$a ＜ \frac{6\sqrt{3}}{\pi} \in (3,4)$，利用$h(\frac{\pi}{2}) ＞ 0$得到式子$1 ＞ 0$，不能得到a的范围)又$a \in \mathbf{Z}$，故$a \leq 3$。(11分)
第二步：证明当$a = 3$时$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立 下面证明当$a = 3$时，$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立，(技巧：要求a的最大值，不妨从最大值开始验证)(12分)由$h(x) = \sin x + \sin 2x - 3x\cos x$，得$h'(x) = 3x\sin x + 2\cos 2x - 2\cos x = 3x\sin x + 4\cos^2 x - 2\cos x - 2$，由
(2)知当$x ＞ 0$时，$2x ＞ \sin 2x$，所以当$x ＞ 0$时，$x ＞ \sin x$，(注意利用已知结论)从而当$x \in (\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$时，$3x\sin x ＞ 3\sin^2 x$，故当$x \in (\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$时，$h'(x) ＞ 3\sin^2 x + 4\cos^2 x - 2\cos x - 2 = \cos^2 x - 2\cos x + 1 = (\cos x - 1)^2 ＞ 0$，所以$h(x)$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上单调递增，(15分)故$h(x) ＞ h(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 × \frac{\pi}{6} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\pi}{4} ＞ \frac{2 + 2 × 1.732 - 1.733 × 3.142}{4} ＞ 0$，故当$a = 3$时，$h(x) ＞ 0$在$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上恒成立。(16分)
第三步：求得结果 综上所述，整数a的最大值为3。(17分)
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