《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

14. 如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线$AB$上，且小量角器的中心点$O$恰好在大量角器的外边缘上。若它们外边缘上的公共点$C$在大量角器上对应的度数为$50^{\circ}$，则$\angle ABC$的度数为$32.5^{\circ}$。

答案： $32.5^{\circ}$

15. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AC = 4$，将$\triangle CAB$绕点$C$按逆时针方向旋转得到$\triangle CDE$，点$D$恰好在边$AB$上，连接$BE$，则$BE$的长为$4\sqrt{3}$。

答案： $4\sqrt{3}$

16. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$AD = 4$，动点$E$从点$B$出发，以每秒$3$个单位长度的速度沿$BC$向右运动，同时动点$F$从点$D$出发，以每秒$4$个单位长度的速度沿$DA$向左运动，当点$F$到达点$A$时运动停止。连接$EF$，过点$C$作$CG\perp EF$于点$G$，则$CG$的最大值为$\frac{\sqrt{337}}{7}$。

答案：
$\frac{\sqrt{337}}{7}$ 解析：如图，过点E作$EM// AB$交AD于点M，连接CF，设运动时间为$t(t\leqslant1)$秒，则$BE = 3t$，$DF = 4t$，$CE = 4 - 3t$，$AF = 4 - 4t$。在$\triangle EFC$中，
易有$2S_{\triangle EFC}=CG· EF = AB· CE$，又$\because AB// ME$，四边形ABCD为矩形，易证四边形ABME为矩形，$\therefore ME = AB$，$AM = BE$，$\therefore$在$Rt\triangle FME$中，$EF^{2}=MF^{2}+ME^{2}=(AF - BE)^{2}+AB^{2}$，得$EF^{2}=(4 - 7t)^{2}+9$，$\because CG^{2}=\frac{(AB· CE)^{2}}{EF^{2}}=\frac{9(4 - 3t)^{2}}{(4 - 7t)^{2}+9}$，① 令$CG^{2}=p$，则由①整理化简，得$(49p - 81)t^{2}+(216 - 56p)t + 25p - 144 = 0$。当$49p - 81 = 0$时，$p=\frac{81}{49}$，此时$CG=\frac{9}{7}$；当$49p - 81\neq0$时，$\Delta=(216 - 56p)^{2}-4(49p - 81)(25p - 144)\geqslant0$。整理，得$49p^{2}-337p\leqslant0$。又$\because p\geqslant0$，$\therefore49p - 337\leqslant0$，$p\leqslant\frac{337}{49}$，此时$CG\leqslant\frac{\sqrt{337}}{7}$。当p取得等号时，通过计算，易得$t=\frac{37}{112}＜1$。即满足题意。$\therefore CG$的最大值为$\frac{\sqrt{337}}{7}$。

17. (8分)解方程：
(1)$x^2 - 6x + 9 = 1$。
(2)$x^2 - 5x = 2(x - 5)$。

答案： 解：
(1)$(x - 3)^{2}=1$，$\therefore x - 3 = 1$或$x - 3 = - 1$，$\therefore x_{1}=4$，$x_{2}=2$。
(2)$x(x - 5)=2(x - 5)$，$\therefore(x - 2)(x - 5)=0$，$x - 2 = 0$或$x - 5 = 0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=5$。

18. (8分)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别是点$A(-2,5)$，$B(-4,1)$，$C(-1,3)$。
(1)将$\triangle ABC$绕点$O$旋转$180^{\circ}$得到的$\triangle A_1B_1C_1$，请作出$\triangle A_1B_1C_1$，并写出点$A_1$的坐标。
(2)在(1)的条件下，求点$C$旋转到点$C_1$所经过的路径长。(结果保留$\pi$)

答案：
解：
(1)$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$如图所示.点$A_{1}$的坐标为$(2,-5)$。
(2)$\because r=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，$\therefore l=\frac{1}{2}×2\pi r=\sqrt{10}\pi$。