《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

24. (12 分)如图 1,点 $ A $, $ B $ 在半径为 2 的 $ \odot O $ 上, $ \angle AOB = 120° $, $ AC \perp BO $,垂足为 $ C $. $ \angle ACB $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转,分别交 $ \odot O $ 于点 $ M $, $ N $ (均位于直线 $ AB $ 上方),连接 $ MN $.
(1) $ OC = $1. (2 分)
(2)如图 2,当 $ \angle ACM = 180° $ 时,求 $ \frac{MN}{AB} $ 的值. (4 分)
(3)如图 3,当 $ CM = CN $ 时,求 $ MN $ 的长度. (4 分)
(4)如图 4,当 $ \angle ACN = \angle BCN $ 时,请直接写出 $ MN $ 的长度. (2 分)

答案：
24.
(1)1
(2)解：
∵∠ACM=180°，∠NCM=90°，
∴∠ACN =90°.
∵∠ACO=90°，B，C，N三点共线，
∴BN是⊙O直径，
∴ON是⊙O半径.
∵OC=1，OA=2，∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，CN=1，CA=OA·sin∠AOC=$\sqrt{3}$.
∵∠ACB=∠MCN，∠AMN=∠ABC，
∴△CAB∽△CNM，
∴$\frac{MN}{BA}$=$\frac{CN}{CA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(3)解：
如图，连接ON，OM，延长OC交MN于点D.
∵OM=ON，CM=CN，
∴OD⊥MN，MD=ND.
∵CM=CN，∠NCM=90°，
∴设ND=CD=x，在Rt△NDO中，ND²+DO²=NO²，即x²+(x + 1)²=4，解得x=$\frac{-1±\sqrt{7}}{2}$.
∵x＞0，
∴x=$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，
∴MN=2x=$\sqrt{7}-1$.
(4)2$\sqrt{2}$