《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

19. (2024·绍兴上虞)(8 分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$BD$ 平分 $\angle ABC$,交 $AC$ 于点 $D$,$E$ 是 $AB$ 上一点,连接 $DE$,满足 $BD^{2}=BC· BE$. 求证:$\triangle BCD\sim\triangle BDE$.

答案： 19.证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠EBD.
∵$BD^{2}$=BC· BE,
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BC}{BD}$,
∴△BCD∽△BDE.

20. (2024·温州)(8 分)如图,$A,B,O$ 三点都在方格图的格点上,请按要求在方格图中作图.
(1)在图 1 中以点 $O$ 为位似中心,作线段 $AB$ 的位似图形 $CD$,使其长度为线段 $AB$ 的 2 倍.
(2)已知 $\triangle OPQ$ 的三边比为 $1:2:\sqrt{5}$,在图 2 中画格点 $\triangle ABD$,使 $\triangle ABD$ 与 $\triangle OPQ$ 相似.

答案：
20.解:
(1)如图.(答案不唯一)

(2)如图.(答案不唯一)

21. (2024·台州椒江、天台)(8 分)如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,内有边长分别为 $a,b,c$ 的三个正方形.
(1)求证:$\triangle DSF\sim\triangle MTP$. (3 分)
(2)若 $a = 1,c = 2$,求 $b$ 的值. (3 分)
(3)直接写出 $a,b,c$ 满足的关系式. (2 分)

答案： 21.
(1)证明:
∵四边形FGNM是正方形,
∴∠GFM=∠FMN=∠A=90°,
∴∠DFS+∠AFM=∠AMF+∠AFM=90°,
∴∠DFS=∠AMF,
∵四边形DEGS,TNQP都是正方形,
∴∠DSG=∠PTN=90°,
∴∠FSD=∠PTM=90°,
∴∠FMN=∠PTM=90°,
∴FM//TP,
∴∠AMF=∠MPT=∠DFS,
∴△DSF∽△MTP.
(2)解:
∵正方形DEGS,FGNM,TNQP,
∴SG=DS=a=1,FG=MN=FM=b,FS=b - 1,TN=TP=c=2,MT=b - 2.
∵△DSF∽△MTP,
∴$\frac{DS}{MT}$=$\frac{FS}{PT}$,
∴$\frac{1}{b - 2}$=$\frac{b - 1}{2}$,解得b=0或b=3,
∵b＞0,
∴b的值为3.
(3)b=a + c.