《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

16. (2024·宁波鄞州)如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ},AC = 8,BC = 6,CE$ 是斜边 $AB$ 上的中线,在直线 $AB$ 上方作 $\triangle DEF\sim\triangle ABC$,$DE,FE$ 分别与 $AC$ 边交于点 $M,N$,当 $\triangle EMN$ 与 $\triangle BEC$ 相似时,线段 $CN$ 的长度为$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{8}$.

答案： 16.$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{8}$　解析:由题易得AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=10,
∵CE是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CE=AE=BE=5,
∴∠B=∠ECB.
∵△DEF∽△ABC,
∴∠DEF=∠B.
∴若△EMN与△BEC相似,则有两种情况:①当△EMN∽△BEC时,∠MNE=∠ECB=∠B,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠A+∠MNE=90°,即∠AEN=90°.易证得△AEN∽△ACB,
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AN}{AB}$,
∴AN=$\frac{AE·AB}{AC}$=$\frac{25}{4}$,
∴CN=AC - AN=8 - $\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$; ②当△ENM∽△BEC时，∠EMN=∠ECB.
∵∠ECB+∠ACE=90°,
∴∠EMN+∠ACE=90°,即∠MEC=90°.
∵∠MEC=∠BCA,∠MCE=∠A,
∴△CME∽△ABC,
∴$\frac{CM}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$,
∴CM=$\frac{AB·CE}{AC}$=$\frac{25}{4}$.
∵∠NCE+∠ECB=∠NEC+∠MEN=90°,∠ECB=∠MEN,
∴∠NCE=∠NEC,
∴CN=NE=NM,
∴CN=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{25}{8}$.综上,CN的长度为$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{8}$.

17. (2024·瑞安)(8 分)如图,$M,N$ 为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,政府决定打一条直线隧道. 工程人员为了计算工程量,必须计算 $M,N$ 两点之间的距离,并选择测量点 $A,B,C$,点 $B,C$ 分别在 $AM,AN$ 上,现测得 $AM = 1$ 千米,$AN = 1.8$ 千米,$AB = 54$ 米,$BC = 45$ 米,$AC = 30$ 米,求 $M,N$ 两点之间的距离.

答案：
17.解:如图，连接MN.在△ABC与△AMN中,
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{30}{54}$=$\frac{5}{9}$,$\frac{AM}{AN}$=$\frac{1000}{1800}$=$\frac{5}{9}$,
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AM}{AN}$.又
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ANM
∴$\frac{BC}{NM}$=$\frac{AC}{AM}$,即$\frac{45}{NM}$=$\frac{30}{1000}$,解得NM=1500.　
答:M,N两点之间的距离是1500米.

18. (2024·兰溪、浦江)(8 分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $AB$ 边上一点,$E$ 为 $AC$ 边上一点,且 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$.
(1)求 $\frac{DE}{BC}$ 的值.
(2)求 $\triangle ADE$ 与四边形 $DBCE$ 的面积比.

答案： 18.解:
(1)
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{3}$且∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$.
(2)
∵$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}$=$(\frac{2}{3})^{2}$=$\frac{4}{9}$,
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{四边形DBCE}}$=$\frac{4}{5}$.