《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

22. (2024·台州路桥)(10 分)根据以下素材,探索解决问题.

答案：
22.解:任务1:
∵AM//CN,
∴∠AMB=∠CND.
∵AB⊥MD,CD⊥MD,
∴∠ABM=∠CDN=90°,
∴△ABM∽△CDN.　任务2:解法1:还要测量DE的长度才能求出旗杆的高度.由题意得DE=a.由光的反射原理，知∠GEB=∠CED,
∵∠GBE=∠CDE=90°,
∴△GBE∽△CDE,
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{GB}{CD}$,
∴$\frac{2.5}{a}$=$\frac{1.6}{CD}$,解得CD=$\frac{16}{25}$a.　解法2:还要测量BD的长度才能求出旗杆的高度.由题意，得BD=a,则DE=a - 2.5.由光的反射原理，知∠GEB=∠CED,
∵∠GBE=∠CDE=90°,
∴△GBE∽△CDE,
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{GB}{CD}$,
∴$\frac{2.5}{a - 2.5}$=$\frac{1.6}{CD}$,解得CD=$\frac{16}{25}$a - $\frac{8}{5}$.　任务3:如图，过点G作GF⊥CD,垂足为点F,GF交PQ于点H.易得:GH=BQ=3.5,GF=BD=17.5,HQ=FD=GB=1.6,PH=3 - HQ=1.4.
∵CD⊥BD,PQ⊥BD,
∴PQ//CD,
∴△GHP∽△GFC,
∴$\frac{PH}{CF}$=$\frac{GH}{GF}$,
∴$\frac{1.4}{CF}$=$\frac{3.5}{17.5}$,解得CF=7,
∴CD=CF + DF=8.6,
∴旗杆的高度为8.6m.