《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

12. (2024·绍兴上虞)欧几里得的《原本》中记载着方程 $x^{2}+ax = b^{2}(a＞0,b＞0)$ 的图解法：如图所示，画 $Rt\triangle ABC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC=\frac{a}{2}$，$AC = b$，再在斜边 $AB$ 上截取 $BD = BC$，则该方程的一个正根为AD(填“$AC$”“$CD$”“$AD$”或“$BC$”)的长。

答案： 12.AD

13. (2025·舟山定海)解一元二次方程 $x^{2}-2x - 3 = 0$ 时，两位同学的解法如下：

(1) 判断：两位同学的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”。
(2) 请选择合适的方法求解此方程。

答案： 13.
(1)都不正确，打“$×$”
(2)解：$(x - 3)(x + 1)=0$，$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。

14. (2025·杭州西湖)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx + 5 = 0$。
(1) 若方程有两个相等的实数根，求 $b$ 的值。
(2) 设 $x_{1}$，$x_{2}$ 是方程的两个实数根，当 $b = 6$ 时，求 $x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$ 的值。

答案： 14.解：
(1)由题意，得$b^{2}-4×1×5 = 0$，解得$b=\pm2\sqrt{5}$。
(2)若$b = 6$，则$x^{2}+6x + 5 = 0$，$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-6\\x_{1}x_{2}=5\end{cases}$，
$\therefore x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=5×(-6)=-30$。