《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

19. (8分)我国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等是我国古代数学的重要著作。
(1)小明想从这$4$部数学著作中随机选择$1$部阅读，则他选中《九章算术》的概率为$\frac{1}{4}$。
(2)某中学拟从这$4$部数学著作中选择$2$部作为“数学文化”校本课程的学习内容，请用画树状图法或列表法求选中《九章算术》和《孙子算经》的概率。(记《周髀算经》为$A$，《九章算术》为$B$，《海岛算经》为$C$，《孙子算经》为$D$)

答案：
(1)$\frac{1}{4}$
(2)解：示例：
第12部 第1部 A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
$\therefore P$(选中《九章算术》和《孙子算经》)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

20. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 5 = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求$m$的取值范围。
(2)若该方程有一个根为$2$，求方程的另一个根。

答案： 解：
(1)$\because$方程有两个不相等的实数根，$\therefore\Delta=[-2(m - 1)]^{2}-4(m^{2}-5)＞0$，解得$m ＜ 3$。
(2)把$x = 2$代入原方程，得$4 - 4(m - 1)+m^{2}-5 = 0$。解得$m = 1$或$m = 3$(舍去)。把$m = 1$代入，得原方程为$x^{2}-4 = 0$。$\therefore x = \pm2$。$\therefore$方程的另一个根为$-2$。