《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

14. （2024·台州椒江、天台）如图，在 $ \odot O $ 中，$ AB $ 是直径，$ AD $ 是弦，$ E $ 为射线 $ CD $ 上一点，且 $ \angle ADE = 60^{\circ} $，$ \angle C = 30^{\circ} $。
（1）求证：直线 $ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线。
（2）若 $ CD = 3\sqrt{3} $，求 $ BC $ 的长。

答案：
14.
(1)证明：如图，连接OD，
∵∠ADE = 60°，∠C = 30°，
∴∠A=∠ADE - ∠C = 30°，
∵AD是弦，
∴OA = OD，
∴∠ODA=∠A = 30°，
∴∠ODE = ∠ODA+∠ADE = 90°. 又
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线.
(2)解：
∵∠ODE = 90°，
∴∠ODC = 180°−∠ODE = 90°，
∵∠C = 30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC. 设OD = x，OC = 2x，
∵OD²+CD²=OC²，CD = 3$\sqrt{3}$，
∴x²+(3$\sqrt{3}$)²=(2x)²，解得x = 3（负值已舍去），
∴OD = OB = 3，OC = 6，
∴BC = OC - OB = 3.

15. (2024·临海)如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ AB = 10 $，$ D $ 是半圆上的动点，$ C $ 是 $ \overset{\frown}{BD} $ 的中点，$ AC $，$ BD $ 交于点 $ E $，连接 $ AD $。
(1)如图 1，若 $ \angle ABD = 30^{\circ} $，
① 则 $ \angle CAD $ 的度数为30°。
② 求点 $ E $ 到 $ AB $ 的距离。
(2)如图 2，连接 $ EO $，将 $ EO $ 绕点 $ E $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $，点 $ O $ 的对应点 $ F $ 恰好落在 $ AD $ 上，求证：$ OB = EB $。
(3)在(2)的条件下，连接 $ BC $ 并延长，交 $ AD $ 的延长线于点 $ G $，直接写出四边形 $ CEDG $ 的面积：11。

答案：
15.
(1)①30°　②解：如图1，连接OE，
∵∠ADB = 90°，∠ABD = 30°，∠CAD = 30°，
∴∠EAB=∠EBA = 30°，
∴EA = EB，
∵OA = OB，
∴OE⊥AB，OB=$\frac{1}{2}$AB = 5，
∴在Rt△EOB中，OE²+OB²=EB²，即OE²+5²=(2OE)²，解得OE=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，即点E到AB的距离为$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$.
(2)证明：如图2，过点O作OH⊥BD于点H，过点E作ET⊥AB于点T.
∵C是BD的中点，
∴∠CAD=∠CAB. 又
∵∠ADB = 90°，ET⊥AB，
∴ET = ED.
∵将EO绕点E顺时针旋转90°，
∴∠FEO = 90°，OE = EF，
∴∠DEF + ∠HEO = 180°−∠FEO = 90°.
∵OH⊥BD，
∴∠OHE = 90°，
∴∠HOE+∠HEO = 90°，
∴∠HOE = ∠DEF，
∴△HOE≌△DEF，
∴OH = ED. 又
∵ET = ED，
∴ET = OH，
∵OH⊥BD，ET⊥AB，
∴S△OBE=$\frac{1}{2}$OB·ET = $\frac{1}{2}$EB·OH，
∴OB = EB.
(3)11