《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

例3 (2025·宁波鄞州)解方程：
(1) $x^{2}=3x$。
(2) $2x^{2}-3x - 4 = 0$。

答案： 【例3】解：
(1)$x^{2}-3x=0$，$x(x - 3)=0$，$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
(2)$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-4)=41$，解得$x_{1}=\frac{3+\sqrt{41}}{4}$，
$x_{2}=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。

3. (2025·湖州吴兴、长兴)在用求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了 $a$，$b$，$c$ 得到 $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}$，则她求解的一元二次方程是 (A)

A.$2x^{2}-3x - 1 = 0$
B.$2x^{2}+4x - 1 = 0$
C.$-x^{2}-3x + 2 = 0$
D.$3x^{2}-2x + 1 = 0$

答案： 3.A

4. (2025·东阳)解方程：
(1) $3x^{2}=16x$。
(2) $2x^{2}+7x - 4 = 0$。

答案： 4.解：
(1)$3x^{2}-16x=0$，$x(3x - 16)=0$，$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{16}{3}$。
(2)$x=\frac{-7\pm\sqrt{7^{2}+4×2×4}}{2×2}=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{4}=\frac{-7\pm9}{4}$，$\therefore x_{1}=\frac{1}{2}$，
$x_{2}=-4$。

例4 (2025·宁波鄞州)校园空地上有一面长为 4 米的墙。为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和 20 米的围栏围成一个矩形花园 $ABCD$。
(1) 如图 1，利用墙围成矩形花园 $ABCD$，若围成的花园面积为 32 平方米，求花园的边长。
(2) 如图 2，用围栏补墙得到矩形花园 $ABCD$，花园的面积可能为 36 平方米吗？若能，请求出 $BC$ 的长；若不能，请说明理由。

答案： 【例4】解：
(1)设$AD$的长为$x$米，则$AB$的长为$(10-\frac{1}{2}x)$米，
$x(10-\frac{1}{2}x)=32$，整理，得$x^{2}-20x + 64 = 0$，$(x - 4)(x - 16)=0$，$x_{1}=4$，$x_{2}=16$。$\because$墙长为$4$米，$\therefore x_{2}=16$舍去。当$x = 4$时，$10-\frac{1}{2}x=8$。答：花园的边长分别为$8$米和$4$米。
(2)设$BC$的长为$x$米，则$AB$的长为$(12 - x)$米，
$x(12 - x)=36$，整理，得$x^{2}-12x + 36 = 0$，$(x - 6)^{2}=0$，
$x_{1}=x_{2}=6$。答：能，$BC$的长为$6$米。