《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

14.(2024·临海)如图，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转一定角度，得到 $ \triangle ADE $，且 $ AD \perp BC $ 于点 $ F $。
(1)若 $ \angle CAE = 50^{\circ} $，$ \angle E = 70^{\circ} $，求 $ \angle BAC $ 的度数。
(2)若 $ \angle CAF = \alpha $，直接写出 $ \angle E $ 的度数：90° - α。(用含 $ \alpha $ 的式子表示)

答案： 14.解：
(1)由旋转可知，△ABC≌△ADE，
∴∠C = ∠E = 70°。
∵AD⊥BC，
∴∠FAC = 90° - ∠C = 20°，由旋转可知，∠BAF = ∠CAE = 50°，
∴∠BAC = ∠BAF + ∠FAC = 70°。
(2)90° - α

15.（2024·仙居）如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转得到 $ \triangle DEC $，旋转角为 $ \alpha $，$ CD $，$ DE $ 分别交 $ AB $ 于点 $ F $，$ G $，连接 $ BD $。
（1）求证：$ \angle AGD = \alpha $。
（2）若 $ BC = 2 $，$ \alpha = 30^{\circ} $，$ BD // AC $。
① 求 $ AB $ 的长。
② 连接 $ AD $，$ BE $，$ AE $，求四边形 $ ADBE $ 的面积。

答案：
15.
(1)证明：由旋转的性质得∠ACD = α，∠BAC = ∠EDC，
∵∠AFC = ∠DFG，
∴∠AGD = ∠ACD = α。
(2)解：①
∵BD//AC，∠ACB = 90°，α = 30°，
∴∠CBD = 90°，∠BDC = ∠ACD = 30°，又
∵BC = 2，
∴CD = 2BC = 4，由旋转的性质得AC = CD = 4，
∴AB² = AC² + BC² = 4² + 2² = 20，
∴AB = 2$\sqrt{5}$。
②如图，过点D，E作直线AB的垂线，垂足分别为M，N，
∵∠AGD = 30°，

∴S四边形ADE = S△AHD + S△AHE = $\frac{1}{2}$AB×DM + $\frac{1}{2}$AB×EN = $\frac{1}{2}$AB×$\frac{1}{2}$DG + $\frac{1}{2}$AB×$\frac{1}{2}$EG = $\frac{1}{4}$AB×DE = $\frac{1}{4}$×(2$\sqrt{5}$)² = 5。