《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

22. （2024·温岭）（10 分）如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ AO $ 平分 $ \angle BAC $ 交 $ BC $ 于点 $ O $，以点 $ O $ 为圆心、$ OB $ 长为半径画圆。
（1）求证：$ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线。
（2）在 $ AB $ 上取一点 $ D $，连接 $ OD $，使得 $ OD = OC $，若 $ AC = 10 $，$ AD = 2 $，求 $ \odot O $ 的半径。

答案：
22.
(1)证明:如图，过点O作OP⊥AC，点P为垂足。
∵AO平分∠BAC，
∴OP = OB。
∵OB为⊙O半径，
∴AC是⊙O的切线。
(2)解:设BD = a。由已知，易证Rt△BDO≌Rt△PCO(HL)，
∴PC = BD = a，AP = 10 - a。又易得AB = AP，
∴2 + a = 10 - a，
∴a = 4，
∴由角平分线性质推论，易得OB = BC·$\frac{AB}{AB + AC}$ = 8×$\frac{6}{6 + 10}$ = 3，
∴⊙O的半径为3。

23. （2024·兰溪、浦江）（10 分）如图 1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度，原先浸在水里的盛水筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽。假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时 120 s。如图 2，把筒车抽象为一个半径为 $ r $ 的 $ \odot O $。筒车涉水宽度 $ AB = 3.6 $ m，筒车涉水深度（劣弧 $ AB $ 中点到水面的距离）是 0.6 m。筒车开始工作时，$ \odot O $ 上 $ C $ 处的盛水筒到水面 $ AB $ 的距离是 0.9 m，经过 85 s 后，该盛水筒旋转到点 $ D $ 处。
（1）求该筒车半径 $ r $。
（2）当盛水筒旋转至点 $ D $ 处时，求它到水面 $ AB $ 的距离。

答案：
23.
(1)如图1，过圆心O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点F，
∵OE⊥AB，
∴AE = BE = 1.8m。设OA = OF = r m，
∵EF = 0.6m，
∴OE = (r - 0.6)m。
∵OE² + AE² = OA²，
∴(r - 0.6)² + 1.8² = r²，
∴r = 3m。
(2)如图2，过点C，D分别作CH⊥OF于点H，DG⊥OF于点G，由题知，C到水面AB的距离是0.9m，则EH = 0.9m，
∴OH = OF - EF - EH = 3 - 0.6 - 0.9 = 1.5(m)，
易得∠OCH = 30°，则∠COH = 60°。又
∵∠COD = 360° - 360°×$\frac{85}{120}$ = 105°，
∴∠DOH = 105° - 60° = 45°，
∴OG = $\frac{\sqrt{2}}{2}$r = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$(m)，
∴GE = OE - OG = (3 - 0.6) - $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{24 - 15\sqrt{2}}{10}$(m)。