《2026年期末直通车九年级数学全一册人教版》

1. (2024·台州椒江)如图，△ABO的顶点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$($x＞0$)的图象上，∠ABO=90°，过边AO的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形OMPB的面积为5，则k的值为(D)

A.9
B.12
C.15
D.18

答案： 1.D 解析：$\because NQ// MP// OB$，$\therefore \triangle ANQ \sim \triangle AMP \sim \triangle AOB$。$\because M$，$N$是$AO$的三等分点，$\therefore \frac{AM}{AO}=\frac{2}{3}$，$\frac{S_{\triangle AMP}}{S_{\triangle AOB}}=\frac{4}{9}$。又$\because S_{四边形CMPB}=5$，$\therefore S_{\triangle AMP}=4$，$S_{\triangle AOB}=9$，$\therefore k = 2S_{\triangle AOB}=18$。故选D。

2. (2024·长兴)如图，抛物线$y=2x^{2}-\frac{5}{2}x+a$与x轴正半轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴正半轴交于点C，且∠OCA=∠OBC，则点B的坐标是(B)

A.$(\frac{1}{4},0)$
B.(1,0)
C.(4,0)
D.$(3\sqrt{3},0)$

答案： 2.B 解析：易证$\triangle OCA \sim \triangle OBC$，$\therefore \frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OC}$，$\therefore OC^{2}=OA· OB$，易知$OC^{2}=a^{2}$，$OA· OB = x_{1}· x_{2}=\frac{a}{2}$，即$a^{2}=\frac{a}{2}$，解得$a = \frac{1}{2}(a = 0$舍去$)$，$\therefore y = 2x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$，令$y = 0$，解得$x_{1}=\frac{1}{4}$，$x_{2}=1$，$\because$点$A$在点$B$的左边，$\therefore$点$B$为$(1,0)$。故选B。

3. (2024·杭州滨江)如图，△ABC内接于⊙O，且AC=BC，AO的延长线交BC于点E，若△ABE与△ABC相似，则∠ABC=(C)

A.55°
B.65°
C.67.5°
D.72°

答案：
3.C 解析：如图，连接$CO$，若$\triangle ABE$与$\triangle ABC$相似，则只能是$\triangle ABE \sim \triangle CBA$，设$\angle CAE = \alpha$，则$\angle ACE = 2\alpha$，$\angle AEB = \angle ABE = 3\alpha$，$\therefore \angle EAB = 2\alpha$，$\therefore$在$\triangle AEB$中，$2\alpha + 3\alpha + 3\alpha = 180^{\circ}$，$\therefore \alpha = 22.5^{\circ}$，$3\alpha = 67.5^{\circ}$，即$\angle ABC = 67.5^{\circ}$。故选C。

4. (2024·温岭)如图，Rt△OAB的顶点O在坐标原点处，点B在x轴上，∠ABO=90°，函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则AD:AB为$3:4$.

答案：
4.$3:4$ 解析：如图，取$OB$的中点$E$，连接$CE$，$OD$。$\because C$是$OA$的中点，$E$为$OB$的中点，$\therefore CE$为$\triangle AOB$的中位线，即$CE// AB$，且$CE = \frac{1}{2}AB$，$\therefore \triangle OCE \sim \triangle OAB$，$\angle CEO = \angle ABO = 90^{\circ}$，$\therefore \frac{S_{\triangle OCE}}{S_{\triangle OAB}}=\frac{1}{4}$。又$\because$点$C$，$D$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，$\therefore S_{\triangle OCE}=S_{\triangle BOD}$，$\therefore \frac{S_{\triangle BOD}}{S_{\triangle OAB}}=\frac{1}{4}$，$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$。