《2026年金版新学案高三数学人教版》

对点练 1 若 $ a ＞ 0 ＞ b $，则（ ）
A.$ a^{3} ＞ b^{3} $
B.$ |a| ＞ |b| $
C.$ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $
D.$ \ln(a - b) ＞ 0 $

答案： 对点练1 A 因为$a ＞ 0 ＞ b$，所以$a^3 ＞ 0$，$b^3 ＜ 0$，即$a^3 ＞ b^3$，故A正确；取$a = 1$，$b = -2$，则$|a| ＞ |b|$不成立，$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$不成立，故B，C错误；取$a = \frac{1}{2}$，$b = -\frac{1}{2}$，则$\ln(a - b) = \ln 1 = 0$，故D错误。故选A。

对点练 2 (多选)若 $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0 $，则下列不等式正确的是（ ）

A.$ \frac{1}{a + b} ＜ \frac{1}{ab} $
B.$ |a| + b ＞ 0 $
C.$ a - \frac{1}{a} ＞ b - \frac{1}{b} $
D.$ \ln a^{2} ＞ \ln b^{2} $

答案： 对点练2 AC 由$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0$，可知$b ＜ a ＜ 0$。对于A，因为$a + b ＜ 0$，$ab ＞ 0$，所以$\frac{1}{a + b} ＜ 0$，$\frac{1}{ab} ＞ 0$，则$\frac{1}{a + b} ＜ \frac{1}{ab}$，故A正确；对于B，因为$b ＜ a ＜ 0$，所以$-b ＞ -a ＞ 0$，故$-b ＞ |a|$，即$|a| + b ＜ 0$，故B错误；对于C，因为$b ＜ a ＜ 0$，又$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0$，则$-\frac{1}{a} ＞ -\frac{1}{b} ＞ 0$，所以$a - \frac{1}{a} ＞ b - \frac{1}{b}$，故C正确；对于D，因为$b ＜ a ＜ 0$，所以$b^2 ＞ a^2 ＞ 0$，而$y = \ln x$在定义域$(0, +\infty)$上单调递增，所以$\ln b^2 ＞ \ln a^2$，故D错误。故选AC。

典例 2 (1) (一题多变)已知 $ -1 ＜ x ＜ 4 $，$ 2 ＜ y ＜ 3 $，则 $ x - y $ 的取值范围是 _____，$ 3x + 2y $ 的取值范围是 _____。

答案： 典例2
(1)$(-4,2)$ $(1,18)$
(1)因为$-1 ＜ x ＜ 4$，$2 ＜ y ＜ 3$，所以$-3 ＜ -y ＜ -2$，所以$-4 ＜ x - y ＜ 2$。由$-1 ＜ x ＜ 4$，$2 ＜ y ＜ 3$，得$-3 ＜ 3x ＜ 12$，$4 ＜ 2y ＜ 6$，所以$1 ＜ 3x + 2y ＜ 18$。

(2) 已知 $ 3 ＜ a ＜ 8 $，$ 4 ＜ b ＜ 9 $，则 $ \frac{a}{b} $ 的取值范围是 _____。

答案： 典例2
(2)$(\frac{1}{3},2)$
(2)因为$4 ＜ b ＜ 9$，所以$\frac{1}{9} ＜ \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{4}$，又$3 ＜ a ＜ 8$，所以$\frac{1}{9} × 3 ＜ \frac{a}{b} ＜ \frac{1}{4} × 8$，即$\frac{1}{3} ＜ \frac{a}{b} ＜ 2$。

对点练 3 已知 $ 0 ＜ \beta ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2} $，则 $ \alpha - \beta $ 的取值范围是 _____。

答案： 对点练3 $(0,\frac{\pi}{2})$ 因为$0 ＜ \beta ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$-\frac{\pi}{2} ＜ -\beta ＜ 0$，又$0 ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$-\frac{\pi}{2} ＜ \alpha - \beta ＜ \frac{\pi}{2}$，又$\beta ＜ \alpha$，所以$\alpha - \beta ＞ 0$，即$0 ＜ \alpha - \beta ＜ \frac{\pi}{2}$，即$\alpha - \beta$的取值范围为$(0,\frac{\pi}{2})$。

对点练 4 已知 $ a ＞ b ＞ c $，$ 2a + b + c = 0 $，则 $ \frac{c}{a} $ 的取值范围是 _____。

答案： 对点练4 $(-3,-1)$ 因为$a ＞ b ＞ c$，$2a + b + c = 0$，所以$a ＞ 0$，$c ＜ 0$，$b = -2a - c$。因为$a ＞ b ＞ c$，所以$-2a - c ＜ a$，即$3a ＞ -c$，解得$\frac{c}{a} ＞ -3$，将$b = -2a - c$代入$b ＞ c$中，得$-2a - c ＞ c$，即$c ＜ -a$，得$\frac{c}{a} ＜ -1$，所以$-3 ＜ \frac{c}{a} ＜ -1$，即$\frac{c}{a}$的取值范围为$(-3,-1)$。

1. 基本不等式：$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a + b}{2}$

答案： 1.$a＞0,b＞0$ $a = b$ 不小于

2. 利用基本不等式求最值问题
已知$x\gt0,y\gt0$，则
(1) 如果积$xy$是定值$P$，那么当且仅当$x = y$时，和$x + y$有______$2\sqrt{P}$(简记：积定和最小)。
(2) 如果和$x + y$是定值$S$，那么当且仅当______时，积$xy$有______值$\frac{S^2}{4}$(简记：和定积最大)。
[微提醒] 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”。

答案： 2.
(1)最小值
(2)$x = y$ 最大