《2026年金版新学案高三数学人教版》

若 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是两个不共线的向量，已知 $\overrightarrow{MN} = \boldsymbol{a} - 2 \boldsymbol{b}, \overrightarrow{PN} = 2 \boldsymbol{a} + k \boldsymbol{b}, \overrightarrow{PQ} = 3 \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$，若 $M, N, Q$ 三点共线，则 $k$ 等于（ ）

A.$-1$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2

答案： 对点练4.B 由题意知，$\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PN}=\boldsymbol{a}-(k+1)\boldsymbol{b}$，因为M,N,Q三点共线，故存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{MN}=\lambda\overrightarrow{NQ}$，即$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=\lambda[\boldsymbol{a}-(k+1)\boldsymbol{b}]$，整理得$(1-\lambda)\boldsymbol{a}=[2-\lambda(k+1)]\boldsymbol{b}$，因为向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线，所以$\begin{cases}1-\lambda=0,\\2-\lambda(k+1)=0,\end{cases}$解得$\lambda=1,k=1$.故选B.

已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是两个不共线的平面向量，向量 $\overrightarrow{AB} = \lambda \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}, \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{a} - \mu \boldsymbol{b} (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$，若 $\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{AC}$，则有（ ）

A.$\lambda + \mu = 2$
B.$\lambda - \mu = 1$
C.$\lambda \mu = -1$
D.$\lambda \mu = 1$

答案： 对点练5.C 因为$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}$，所以存在实数k使$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.因为$\overrightarrow{AB}=\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{a}-\mu\boldsymbol{b}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$，所以$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=k(\boldsymbol{a}-\mu\boldsymbol{b})$，可得$\begin{cases}\lambda=k,\\1=-k\mu,\end{cases}$所以$\lambda\mu=-1$.故选C.

（2022·新高考 I 卷）在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在边 $AB$ 上，$BD = 2 DA$。记 $\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{m}, \overrightarrow{CD} = \boldsymbol{n}$，则 $\overrightarrow{CB} =$（ ）

A.$3 \boldsymbol{m} - 2 \boldsymbol{n}$
B.$-2 \boldsymbol{m} + 3 \boldsymbol{n}$
C.$3 \boldsymbol{m} + 2 \boldsymbol{n}$
D.$2 \boldsymbol{m} + 3 \boldsymbol{n}$

答案： [考教衔接 精研教材]
B 因为点D在边AB上，BD=2DA，所以$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$，即$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD})$，所以$\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CD}-2\overrightarrow{CA}=3\boldsymbol{n}-2\boldsymbol{m}=-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$.故选B.

（人教 A 必修二 P14 例 6）如图，$□ ABCD$ 的两条对角线相交于点 $M$，且 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}, \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，用 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}$ 和 $\overrightarrow{MD}$。

答案： $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$