《2026年金版新学案高三数学人教版》

对点练 1. (2024·内蒙古包头三模)冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量$Q$呈指数型变化. 当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式$Q = Q_0· e^{-0.0025t}$，其中$Q_0$是臭氧的初始量，$e$是自然对数的底数，$t$是时间，以年为单位. 若按照关系式$Q = Q_0· e^{-0.0025t}$推算，经过$t_0$年臭氧量还保留初始量的四分之一，则$t_0$的值约为（$\ln 2\approx0.693$）（ ）

A.584 年
B.574 年
C.564 年
D.554 年

答案： 对点练1.D 由题意知，$Q=Q_{0}· e^{-0.0025t}=\frac{1}{4}Q_{0}，$则$e^{-0.0025t}=\frac{1}{4}，$解得$t_{0}=-400\ln\frac{1}{4}=800\ln2\approx554$年.故选D.

对点练 2. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量$E$（单位：焦耳）与地震里氏震级$M$之间的关系为$\lg E = 4.8 + 1.5M$. 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震，它所释放出来的能量是 2024 年 4 月 23 日我国台湾发生里氏 6.0 级地震的（ ）

A.3 倍
B.10 倍
C.$10^3$倍
D.$10^4$倍

答案： 对点练2.C 设里氏震级M=8.0时释放的能量为$E_{1}，$里氏震级M=6.0时释放的能量为$E_{2}，$则$\lg E_{1}=4.8+1.5×8=16.8，$$\lg E_{2}=4.8+1.5×6=13.8，$所以$E_{1}=10^{16.8}，$$E_{2}=10^{13.8}，$所以$\frac{E_{1}}{E_{2}}=10^{3}=1000，$即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月23日我国台湾发生的地震释放的能量的$10^{3}$倍.故选C.

典例 2 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业. 经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产$x$万件，需另投入流动成本$W(x)$万元，在年产量不足 8 万件时，$W(x)=\frac{1}{3}x^2 + x$（万元）；在年产量不小于 8 万件时，$W(x)=6x + \frac{100}{x} - 38$（万元）. 每件商品售价为 5 元. 通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润$L(x)$（万元）关于年产量$x$（万件）的函数解析式；（注：年利润 = 年销售收入 - 固定成本 - 流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

答案： 典例2 解：
(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x＜8时，$L(x)=5x-(\frac{1}{3}x^{2}+x)-3=-\frac{1}{3}x^{2}+4x-3；$当$x\geq8$时，$L(x)=5x-(6x+\frac{100}{x}-38)-3=35-(x+\frac{100}{x})。$所以$L(x)=\begin{cases} -\frac{1}{3}x^{2}+4x-3,0＜x＜8, \\ 35-(x+\frac{100}{x}),x\geq8. \end{cases}(2)$当0＜x＜8时，$L(x)=-\frac{1}{3}(x-6)^{2}+9.$即当x=6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元；当$x\geq8$时，$L(x)=35-(x+\frac{100}{x})\leq35-2\sqrt{x·\frac{100}{x}}=35-20=15，$当且仅当$x=\frac{100}{x}，$即x=10时等号成立，即x=10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元.因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.

典例 3 (1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近 50 年内减少了 5%，如果按此速度，设 2010 年的冬季冰雪覆盖面积为$m$，从 2010 年起，经过$x$年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积$y$与$x$的函数关系式是（ ）

A.$y = 0.95^{\frac{x}{50}}· m$
B.$y = (1 - 0.05^{\frac{x}{50}})· m$
C.$y = 0.95^{50 - x}· m$
D.$y = (1 - 0.05^{50 - x})· m$

答案：
(1)A

(2)北京时间 2020 年 11 月 24 日 4 时 30 分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度$v$（km/s）和燃料的质量$M$（kg）、火箭（除燃料外）的质量$m$（kg）的函数关系是$v = 2000\ln(1 + \frac{M}{m})$. 按照这个规律，当$1000M = 8m$时，火箭的最大速度为$v_1$；当$1000M = 4m$时，火箭的最大速度为$v_2$，则$v_1 - v_2\approx$（参考数据：$\ln\frac{252}{251}\approx0.004$）（ ）

A.8.0 km/s
B.8.4 km/s
C.8.8 km/s
D.9.0 km/s

答案：
(2)A
(1)设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得$(1-a)^{50}=1-5\%=95%，$即$a=1-(95\%)^{\frac{1}{50}}.$所以经过x年后，y与x的函数关系式为$y=m·(1-a)^{x}=m·(95\%)^{\frac{x}{50}}=0.95^{\frac{x}{50}}· m.$故选A.
(2)由火箭的速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是$v=2000\ln(1+\frac{M}{m})，$当1000M=8m时，有$\frac{M}{m}=\frac{8}{1000}，$所以$v_{1}=2000\ln(1+\frac{8}{1000})=2000\ln\frac{1008}{1000}；$当1000M=4m时，有$\frac{M}{m}=\frac{4}{1000}，$所以$v_{2}=2000\ln(1+\frac{4}{1000})=2000\ln\frac{1004}{1000}，$可得$v_{1}-v_{2}=2000\ln\frac{1008}{1004}=2000\ln\frac{252}{251}\approx2000×0.004=8.0km/s.$故选A.