《2026年金版新学案高三数学人教版》

[真题再现] （2021·新高考I卷）下列区间中，函数 $ f(x) = 7\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) $ 单调递增的区间是 （ ）

A.$ \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $
B.$ \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) $
C.$ \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) $
D.$ \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) $

答案： [考教衔接 精研教材]
A 令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant x-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，得$-\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{2\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$.取$k = 0$，则$-\frac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant\frac{2\pi}{3}$.因为$(0,\frac{\pi}{2})\subseteq[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$，所以区间$(0,\frac{\pi}{2})$是函数$f(x)$的单调递增区间.故选A.

[教材呈现] （人教A必修一P207T5）求函数 $ y = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $，$ x \in [0, \pi] $ 的单调递减区间。
点评：本题和教材习题都是求三角函数的单调区间，解决此类问题，首先化简成 $ y = A\sin(\omega x + \varphi) $ 形式，再求 $ y = A\sin(\omega x + \varphi) $ 的单调区间，只需把 $ \omega x + \varphi $ 看作一个整体代入 $ y = \sin x $ 的相应单调区间内即可，注意要先把 $ \omega $ 化为正数。

答案： 由题意，将 $ωx + φ$ 看作一个整体，对于函数 $y = 3\sin(2x + \frac{\pi}{4})$，其中 $A = 3, ω = 2, φ = \frac{\pi}{4}$。
正弦函数 $y = \sin x$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$（$k \in \mathbb{Z}$）上是单调递减的。
将 $2x + \frac{\pi}{4}$ 代入上述区间，得到：
$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant 2x + \frac{\pi}{4} \leqslant \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$，
解这个不等式组，得到：
$\frac{\pi}{8} + k\pi \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{8} + k\pi$，
由于 $x \in [0, \pi]$，所以 $k = 0$，得到单调递减区间为 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}\right]$。
综上所述，函数 $y = 3\sin(2x + \frac{\pi}{4})$ 在 $x \in [0, \pi]$ 的单调递减区间为 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}\right]$。

1. 函数 $ f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^{2}x} $ 的最小正周期为（ ）

A.$ \frac{\pi}{4} $
B.$ \frac{\pi}{2} $
C.$ \pi $
D.$ 2\pi $

答案： 1.C $f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^{2}x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}}=\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2}x+\sin^{2}x}=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$,所以$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$.故选C.

2. 下列函数中，最小正周期为 $ \pi $ 的函数是（ ）

A.$ f(x)=\sin x+\cos 2x $
B.$ y=|\cos x| $
C.$ f(x)=\tan \frac{x}{2} $
D.$ y=\sin |x| $

答案：
2.B 对于A,因为$f(x+\pi)=\sin(x+\pi)+\cos2(x+\pi)=-\sin x+\cos2x\neq f(x)$,故A不符合题意;对于B,作出函数$y=|\cos x|$的图象,由图可知,函数$y=|\cos x|$的最小正周期为$\pi$,故B符合题意;

对于C,$f(x)=\tan\frac{x}{2}$的最小正周期为$\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi$,故C不符合题意;对于D,函数$y=\sin|x|=\begin{cases}\sin x,x\geq0,\\-\sin x,x\lt0.\end{cases}$其图象如下,由图可知,函数$y=\sin|x|$不是周期函数,故D不符合题意.故选B.

3. 函数 $ f(x)=\cos x+2\cos \frac{1}{2}x $ 的一个周期为（ ）

A.$ \pi $
B.$ 2\pi $
C.$ 3\pi $
D.$ 4\pi $

答案： 3.D 易知$y_1=\cos x,y_2=2\cos\frac{1}{2}x$的最小正周期分别为$2\pi,4\pi$,则$2\pi,4\pi$的公倍数$4\pi$是$f(x)$的一个周期.故选D.

4. 已知函数 $ f(n)=2\sin \left(\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+1(n\in \mathbf{N}^{*}) $，则 $ f(1)+f(2)+f(3)+·s +f(2025)= $______.

答案： 4.2025+$\sqrt{2}$ 由$f(n)=2\sin(\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+1(n\in N^{*})$,得$f(4k+m)=2\sin(2k\pi+\frac{m\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+1=2\sin(\frac{m\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+1=f(m)(k,m\in N^{*})$,所以$f(n)$的周期为4,所以$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+2\sin(\frac{2\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+2\sin(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+2\sin(\frac{4\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+4=4$,所以$f(1)+f(2)+f(3)+·s+f(2025)=4×\frac{2024}{4}+2\sin(\frac{2025\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+1=2025+\sqrt{2}$.

典例 1 （1）函数 $ f(x)=\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{12}\right)-1 $ 是（ ）

A.最小正周期为 $ 2\pi $ 的奇函数
B.最小正周期为 $ \pi $ 的偶函数
C.最小正周期为 $ \pi $ 的奇函数
D.最小正周期为 $ 2\pi $ 的偶函数

答案： 典例1
(1)C
(1)由题得$f(x)=\frac{1+\cos(2x-\frac{\pi}{6})}{2}+\frac{1-\cos(2x+\frac{\pi}{6})}{2}-1=\frac{1}{2}\cos(2x-\frac{\pi}{6})-\frac{1}{2}\cos(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}(\cos2x\cos\frac{\pi}{6}+\sin2x\sin\frac{\pi}{6}-\cos2x\cos\frac{\pi}{6}+\sin2x\sin\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\sin2x$,所以函数$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$,又因为函数$y=f(x)$的定义域为R,定义域关于原点对称,$f(-x)=\frac{1}{2}\sin2(-x)=-\frac{1}{2}\sin2x=-f(x)$,所以函数$f(x)$为奇函数.故选C.

（2）已知函数 $ f(x)=\sqrt{3}\cos (x+\theta )-\sin (x+\theta )\left(-\frac{\pi}{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right) $ 是奇函数，则 $ \theta = $______.

答案： 典例1
(2)$\frac{\pi}{3}$
(2)$f(x)=\sqrt{3}\cos(x+\theta)-\sin(x+\theta)=2\cos(x+\theta+\frac{\pi}{6})$,因为函数$f(x)$是奇函数,所以$\theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$,解得$\theta=\frac{\pi}{3}+k\pi,k\in Z$,因为$-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$,所以$\theta=\frac{\pi}{3}$.

典例 2 （1）函数 $ f(x)=2\sin \left(x+\frac{5\pi}{6}\right)\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) $ 图象的对称轴可以是（ ）

A.直线 $ x=\frac{5\pi}{12} $
B.直线 $ x=\frac{\pi}{3} $
C.直线 $ x=\frac{\pi}{6} $
D.直线 $ x=\frac{2\pi}{3} $

答案： 典例2
(1)A
(1)$f(x)=2\sin[(x+\frac{\pi}{3})+\frac{\pi}{2}]\sin(x+\frac{\pi}{3})=2\cos(x+\frac{\pi}{3})\sin(x+\frac{\pi}{3})=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$,令$2x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$,解得$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in Z)$,所以$f(x)$图象的对称轴为直线$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in Z)$,当$k=1$时,$x=\frac{5\pi}{12}$.故选A.