《2026年金版新学案高三数学人教版》

莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形$ABC$的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知$A$，$B$两点间的距离为$2$，点$P$为$\overset{\frown}{AB}$上的一点，则$\overrightarrow{PA}·(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$的最小值为________。

答案： $10 - 4\sqrt{7}$

如图，在四边形$ABCD$中，$\angle B=60^{\circ}$，$AB=3$，$BC=6$，且$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}$，则实数$\lambda$的值为________，若$M$，$N$是线段$BC$上的动点，且$|\overrightarrow{MN}|=1$，则$\overrightarrow{DM}·\overrightarrow{DN}$的最小值为________。

答案： -1/6，13/2

1. 复数的有关概念
(1)定义：我们把集合____$=\{ a + bi|a,b∈R\}$中的数，即形如$a + bi(a,b∈R)$的数叫做复数，其中$a$叫做复数$z$的____，$b$叫做复数$z$的____($i$为虚数单位).
(2)分类：

(3)复数相等：$a + bi = c + di\Leftrightarrow$____($a$，$b$，$c$，$d∈R$).
(4)共轭复数：$a + bi$与$c + di$共轭$\Leftrightarrow$____($a$，$b$，$c$，$d∈R$).
(5)模：向量$\overrightarrow{OZ}$的模叫做复数$z = a + bi$的模，记作____或____，即$|z| = |a + bi| =$____($a$，$b∈R$).

答案：
(1)C；实部；虚部
(2)$b = 0$；$b\neq0$；$a = 0$且$b\neq0$
(3)$a = c$且$b = d$
(4)$a = c$且$b=-d$
(5)$|z|$；$|a + bi|$；$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

3. 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，$a$，$b$，$c$，$d∈R$.

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的加、减法进行.

如图给出的平行四边形$OZ_1ZZ_2$可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即$\overrightarrow{OZ} =$____，$\overrightarrow{Z_1Z_2} =$____.
(3)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何$z_1$，$z_2$，$z_3∈C$，有$z_1 + z_2 =$____，$(z_1 + z_2) + z_3 =$____.

答案：
(1) $ (a \pm c) + (b \pm d)i $；$ (ac - bd) + (ad + bc)i $；$ \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i $
(2) $ \overrightarrow{OZ_1} + \overrightarrow{OZ_2} $；$ \overrightarrow{OZ_2} - \overrightarrow{OZ_1} $
(3) $ z_2 + z_1 $；$ z_1 + (z_2 + z_3) $