《2026年金版新学案高三数学人教版》

[真题再现]（2022·浙江卷）已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2,x \leq 1, \\ x + \frac{1}{x} - 1,x ＞ 1, \end{cases} $ 则 $ f\left( f\left( \frac{1}{2} \right) \right) = $____；若当 $ x \in [a,b] $ 时，$ 1 \leq f(x) \leq 3 $，则 $ b - a $ 的最大值是____.

答案： [考教衔接 精研教材]
$\frac{37}{28}$ $3 + \sqrt{3}$ 由已知$f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + 2 = \frac{7}{4}$,$f\left(\frac{7}{4}\right) = \frac{7}{4} + \frac{4}{7} - 1 = \frac{37}{28}$,所以$f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{37}{28}$. 当$x \leq 1$时,由$1 \leq f(x) \leq 3$可得$1 \leq -x^{2} + 2 \leq 3$,所以$-1 \leq x \leq 1$,当$x ＞ 1$时,由$1 \leq f(x) \leq 3$可得$1 \leq x + \frac{1}{x} - 1 \leq 3$,所以$1 ＜ x \leq 2 + \sqrt{3}$,$1 \leq f(x) \leq 3$等价于$-1 \leq x \leq 2 + \sqrt{3}$,所以$[a,b] \subseteq [-1,2 + \sqrt{3}]$,所以$b - a$的最大值为$3 + \sqrt{3}$.

[教材呈现]（人教 A 必修一 P65 例 2(3)）已知函数 $ f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2} $，当 $ a ＞ 0 $ 时，求 $ f(a) $，$ f(a - 1) $ 的值.
点评：2022 年浙江卷高考题与教材例题在考查函数的赋值与整体代换的思想的同时，又在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现.

答案： 要计算函数 $ f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2} $ 在 $ a ＞ 0 $ 时的 $ f(a) $ 和 $ f(a - 1) $ 的值，需先确定函数的定义域，再代入计算。
函数定义域
对于 $ f(x) $：
1. 根号内非负：$ x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3 $；
2. 分母不为零：$ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 $。
故定义域为 $ x \in -3, -2) \cup (-2, +\infty) $。
计算 $ f(a) $（$ a ＞ 0 $）
因为 $ a ＞ 0 $，显然 $ a \geq -3 $ 且 $ a \neq -2 $，满足定义域。
代入 $ x = a $：
$ f(a) = \sqrt{a + 3} + \frac{1}{a + 2} $
计算 $ f(a - 1) $（$ a ＞ 0 $）
此时 $ x = a - 1 $，需确保 $ a - 1 $ 在定义域内：
$ a - 1 \geq -3 \implies a \geq -2 $（由 $ a ＞ 0 $ 自动满足）；
$ a - 1 \neq -2 \implies a \neq -1 $（由 $ a ＞ 0 $ 自动满足）。
故 $ a - 1 $ 满足定义域，代入 $ x = a - 1 $：
$ f(a - 1) = \sqrt{(a - 1) + 3} + \frac{1}{(a - 1) + 2} = \sqrt{a + 2} + \frac{1}{a + 1} $
结论
$ f(a) = \sqrt{a + 3} + \frac{1}{a + 2} $
$ f(a - 1) = \sqrt{a + 2} + \frac{1}{a + 1} $
答案
$ f(a) = \sqrt{a + 3} + \frac{1}{a + 2} $，$ f(a - 1) = \sqrt{a + 2} + \frac{1}{a + 1} $

1. 函数的单调性
(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义
如果函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ I $ 上 或 ，那么就说函数 $ y = f(x) $ 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 $ I $ 叫做 $ y = f(x) $ 的单调区间。
[微提醒] (1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域。(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“$ \cup $”连接。例如对勾函数 $ y = x + \frac{a}{x} (a ＞ 0) $ 的单调递增区间为 $ (-\infty, -\sqrt{a}) $，$ (\sqrt{a}, +\infty) $；单调递减区间是 $ [-\sqrt{a}, 0) $，$ (0, \sqrt{a}] $。(3)“函数的单调区间为 $ M $”与“函数在区间 $ N $ 上单调”是两个不同的概念，显然 $ N \subseteq M $。

答案： 1.
(1)f(x₁)＜f(x₂) f(x₁)＞f(x₂)
(2)单调递增 单调递减

2. 函数的最值

答案： 2.f(x)≤M f(x₀) = M f(x)≥M f(x₀) = M