《2026年金版新学案高三数学人教版》

典例2
已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + 2m + 1 = 0$.
(1)若方程有两根，其中一根在区间$(-1,0)$内，另一根在区间$(1,2)$内，求实数$m$的取值范围；
(2)若方程两根均在区间$(0,1)$内，求实数$m$的取值范围.
听课笔记：

答案：
典例2 解：
(1)设函数f(x)=x² + 2mx + 2m + 1，则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，画出示意图如图，由题意，得{f
(0)=2m + 1＜0，f(-1)=2＞0，f
(1)=4m + 2＜0，f
(2)=6m + 5＞0}，解得 - 5/6＜m＜ - 1/2。故实数m的取值范围为(-5/6,-1/2)。
(2)由题意知函数f(x)=x² + 2mx + 2m + 1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图如图，由题意，得{Δ = 4m² - 4(2m + 1)≥0，0＜ - m＜1，f
(0)=2m + 1＞0，f
(1)=4m + 2＞0}，解得 - 1/2＜m≤1 - √2。故实数m的取值范围为(-1/2,1 - √2)。

已知一元二次方程$x^{2}-mx + 1 = 0$的两根都在$(0,2)$内，则实数$m$的取值范围是（ ）

A.$(2,\frac{5}{2})$
B.$2,\frac{5}{2})$
C.$(-\infty,-2]\cup[2,\frac{5}{2})$
D.$(-\infty,-2\cup(2,\frac{5}{2})$

答案： 对点练1.B 设f(x)=x² - mx + 1，由题意可得{Δ = m² - 4≥0，0＜m/2＜2，f
(0)=1＞0，f
(2)= - 2m + 5＞0}，解得2≤m＜5/2。因此实数m的取值范围是2,5/2)。故选B。

设$m$为实数，若二次函数$y = x^{2}-x + m$在区间$(-\infty,1)$上有两个零点，则$m$的取值范围是__________.

答案： 对点练2.(0,1/4) 二次函数y = x² - x + m的对称轴为x = 1/2，且开口向上，因为二次函数y = x² - x + m在区间(-∞,1)上有两个零点，所以方程x² - x + m = 0在区间(-∞,1)内有两个不同的根，设f(x)=x² - x + m，由题意可得{Δ = 1 - 4m＞0，1/2＜1，f
(1)=1 - 1 + m＞0}，解得0＜m＜1/4，所以m∈(0,1/4)。

关于$x$的方程$x^{2}+(m - 3)x + m = 0$满足下列条件，求实数$m$的取值范围.
(1)有两个正根；
(2)一个根大于$1$，一个根小于$1$；
(3)一个根在$(-2,0)$内，另一个根在$(0,4)$内.

答案： 对点练3.解：
(1)令f(x)=x²+(m - 3)x + m，
法一：设f(x)=0的两个根为x₁,x₂。
由题意可得{Δ=(m - 3)² - 4m≥0，x₁ + x₂ = 3 - m＞0，x₁x₂ = m＞0}，解得0＜m≤1。所以实数m的取值范围为(0,1。
法二：由题意可得{Δ=(m - 3)² - 4m≥0，-(m - 3)/2＞0，f
(0)=m＞0}，解得0＜m≤1。所以实数m的取值范围为(0,1。
(2)令f(x)=x²+(m - 3)x + m，若方程x²+(m - 3)x + m = 0的一个根大于1，一个根小于1，由于f(-1)=1-(m - 3)+m = 4＞0，f(x)=x²+(m - 3)x + m开口向上，故只需f
(1)=2m - 2＜0，解得m＜1。所以实数m的取值范围为(-∞,1)。
(3)令f(x)=x²+(m - 3)x + m，若方程x²+(m - 3)x + m = 0的一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内，结合f(x)=x²+(m - 3)x + m开口向上，由题意可得{f(-2)=10 - m＞0，f
(0)=m＜0，f
(4)=5m + 4＞0}，解得 - 4/5＜m＜0。所以实数m的取值范围为(-4/5,0)。