《2026年金版新学案高三数学人教版》

1. [真题再现] （2024·全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 $r_{1}$，下底面半径均为 $r_{2}$，圆台的母线长分别为 $2(r_{2} - r_{1})$，$3(r_{2} - r_{1})$，则圆台甲与乙的体积之比为____。

答案： $1.\frac{\sqrt{6}}{4} $两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为$\frac{\sqrt{4(r₂ - r₁)²- (r₂ - r₁)²}}{\sqrt{9(r₂ - r₁)²- (r₂ - r₁)²}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}.$

[教材呈现] （人教 A 必修二 P117 思考）圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
点评：高考题与教材思考题都考查台体的体积公式。

答案： 柱体$V=Sh$，锥体$V=\frac{1}{3}Sh$，台体$V=\frac{1}{3}h(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}S_{下}})$；台体中$S_{上}=S_{下}$为柱体，$S_{上}=0$为锥体。

2. [真题再现] （2024·新课标Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$，则圆锥的体积为（ ）

A.$2\sqrt{3}\pi$
B.$3\sqrt{3}\pi$
C.$6\sqrt{3}\pi$
D.$9\sqrt{3}\pi$

答案： 2.B 设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为$\sqrt{3}，$且侧面积相等，所以$2πr×\sqrt{3} = πr×\sqrt{(\sqrt{3})² + r²}，$得r² = 9，所以圆锥的体积$V = \frac{1}{3}πr²×\sqrt{3} = 3\sqrt{3}π.$故选B.

[教材呈现] （人教 A 必修二 P120T4）如图，圆锥 $PO$ 的底面直径和高均是 $a$，过 $PO$ 的中点 $O'$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积。

点评：高考题与教材习题设问的本质是一样的，都考查了圆锥的侧面积与体积的求解。

答案： 表面积为$\frac{\pi a^2(4\sqrt{5} + 7)}{16}$，体积为$\frac{5\pi a^3}{96}$